СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2019 год вариант 8

1. Изначально руда содержала 62% примесей, в процессе очистки из неё удалили часть примесей. В результате получился металл, содержащий 5% примесей. Сколько такого металла было произведено из 100 тонн руды?
2. Отношение оснований трапеции \(ABCD\) равно \(BC : AD = 3:7\). Через середину \(O\) диагонали \(BD\) провели прямую \(CO\). В каком отношении эта прямая делит основание \(AD\)?
3. Запишите квадратное уравнение с корнями \(\frac{1}{2x_2}\) и \(\frac{1}{2x_1}\), где \(x_1,x_2\) — корни уравнения \[ x^2 - x - 2021 = 0. \]
4. Первый член арифметической прогрессии \(a_1,a_2,\dots\) равен 3, а её часть \(a_1,a_4,a_{13},\dots\) — геометрическая прогрессия. Какова разность арифметической прогрессии?
5. Решите уравнение \[ 2x^{2019} + 7x^{2021} = 2(1 - 3x)^{2019} + 7(1 - 3x)^{2021}. \]

1. $40\ \mathrm{т.}$
2. $4:3$
3. $x^2 + \displaystyle\frac{1}{4042}x - \displaystyle\frac{1}{8084} = 0$
4. $0$ или $2$
5. $x = \tfrac{1}{4}$

Решения задач

1. Изначально руда содержала 62% примесей, в процессе очистки из неё удалили часть примесей. В результате получился металл, содержащий 5% примесей. Сколько такого металла было произведено из 100 тонн руды?
   Решение: В 100 тоннах руды содержится 100\ 62% = 38% чистого металла:
   $100 \cdot 0,38 = 38$ тонн.
   После очистки эти 38 тонн составляют 100\ 5% = 95% массы металла:
   $38 : 0,95 = 40$ тонн.
   Ответ: 40 тонн.
2. Отношение оснований трапеции \(ABCD\) равно \(BC : AD = 3:7\). Через середину \(O\) диагонали \(BD\) провели прямую \(CO\). В каком отношении эта прямая делит основание \(AD\)?
   Решение: Пусть \(BC = 3k\), \(AD = 7k\). Введем координатную систему: \(B(0;0)\), \(C(3k;0)\), \(D(7k;h)\), \(A(0;h)\). Середина диагонали \(BD\): \(O\left(\frac{7k}{2}; \frac{h}{2}\right)\).
   Уравнение прямой \(CO\): \[ \frac{x - 3k}{\frac{7k}{2} - 3k} = \frac{y - 0}{\frac{h}{2} - 0} \Rightarrow \frac{x - 3k}{\frac{k}{2}} = \frac{y}{\frac{h}{2}} \Rightarrow y = h\left(\frac{x}{k} - 3\right) \]
   Точка пересечения с \(AD\) (\(x = 7k\)): \[ y = h\left(\frac{7k}{k} - 3\right) = 4h \]
   Основание \(AD\) имеет длину \(7k\), точка пересечения делит его в отношении: \[ \frac{AH}{HD} = \frac{4h}{h} = 4:1 \]
   Ответ: \(4:1\).
3. Запишите квадратное уравнение с корнями \(\frac{1}{2x_2}\) и \(\frac{1}{2x_1}\), где \(x_1,x_2\) — корни уравнения \[ x^2 - x - 2021 = 0. \]
   Решение: По теореме Виета для исходного уравнения: \[ x_1 + x_2 = 1, \quad x_1x_2 = -2021 \]
   Сумма новых корней: \[ \frac{1}{2x_2} + \frac{1}{2x_1} = \frac{x_1 + x_2}{2x_1x_2} = \frac{1}{2 \cdot (-2021)} = -\frac{1}{4042} \]
   Произведение новых корней: \[ \frac{1}{2x_1} \cdot \frac{1}{2x_2} = \frac{1}{4x_1x_2} = \frac{1}{4 \cdot (-2021)} = -\frac{1}{8084} \]
   Искомое уравнение: \[ x^2 + \frac{1}{4042}x - \frac{1}{8084} = 0 \quad \Rightarrow \quad 8084x^2 + 2x - 1 = 0 \]
   Ответ: \(8084x^2 + 2x - 1 = 0\).
4. Первый член арифметической прогрессии \(a_1,a_2,\dots\) равен 3, а её часть \(a_1,a_4,a_{13},\dots\) — геометрическая прогрессия. Какова разность арифметической прогрессии?
   Решение: Члены арифметической прогрессии: \[ a_1 = 3, \quad a_4 = 3 + 3d, \quad a_{13} = 3 + 12d \]
   По условию геометрической прогрессии: \[ (a_4)^2 = a_1 \cdot a_{13} \Rightarrow (3 + 3d)^2 = 3(3 + 12d) \] \[ 9 + 18d + 9d^2 = 9 + 36d \Rightarrow 9d^2 - 18d = 0 \Rightarrow d(d - 2) = 0 \]
   \(d = 0\) не подходит, так как прогрессия не может быть постоянной. Ответ: \(d = 2\).
   Ответ: 2.
5. Решите уравнение \[ 2x^{2019} + 7x^{2021} = 2(1 - 3x)^{2019} + 7(1 - 3x)^{2021}. \]
   Решение: Заметим, что функция \(f(t) = 2t^{2019} + 7t^{2021}\) строго возрастает. Уравнение имеет вид: \[ f(x) = f(1 - 3x) \]
   Из монотонности следует \(x = 1 - 3x \Rightarrow 4x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{4}\).
   Проверка подстановкой подтверждает решение.
   Ответ: \(\frac{1}{4}\).