СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2019 год вариант 7

1. Изначально руда содержала 60% примесей, в процессе очистки из неё удалили часть примесей. В результате получился металл, содержащий 4% примесей. Сколько такого металла было произведено из 120 тонн руды?
2. Отношение оснований трапеции $ABCD$ равно $BC:AD = 2:5$. Через середину $O$ диагонали $AC$ провели прямую $BO$. В каком отношении эта прямая делит основание $AD$?
3. Запишите квадратное уравнение с корнями $\displaystyle\frac{1}{3x_2}$ и $\displaystyle\frac{1}{3x_1}$, где $x_1,x_2$ — корни уравнения \[ x^2 + x - 2019 = 0. \]
4. Первый член арифметической прогрессии $a_1,a_2,\dots$ равен 2, а её часть $a_1,a_3,a_{11},\dots$ — геометрическая прогрессия. Какова разность арифметической прогрессии?
5. Решите уравнение \[ 3x^{2019} + 5x^{2017} = 3(1 - 4x)^{2019} + 5(1 - 4x)^{2017}. \]

1. $50\ \mathrm{т.}$
2. $2:3$
3. $x^2 - \dfrac{1}{6057}x - \dfrac{1}{18171} = 0$
4. $0$ или $3$
5. $x = \tfrac{1}{5}$

Решения задач

1. Изначально руда содержала 60% примесей, в процессе очистки из неё удалили часть примесей. В результате получился металл, содержащий 4% примесей. Сколько такого металла было произведено из 120 тонн руды?
   Решение: В 120 тоннах руды содержится 40% металла и 60% примесей:
   Металл: $120 \cdot 0,4 = 48$ тонн
   Примеси: $120 \cdot 0,6 = 72$ тонны
   После очистки примеси составляют 4% массы металла. Пусть масса полученного металла $m$ тонн. Тогда:
   Примеси: $0,04m$
   Металл: $0,96m = 48$ тонн (металл не удаляли)
   Отсюда $m = \frac{48}{0,96} = 50$ тонн
   Ответ: 50 тонн.
2. Отношение оснований трапеции $ABCD$ равно $BC:AD = 2:5$. Через середину $O$ диагонали $AC$ провели прямую $BO$. В каком отношении эта прямая делит основание $AD$?
   Решение: Пусть $AD = 5k$, $BC = 2k$. Проведем диагональ $AC$, $O$ — её середина. Через точку $O$ проведем прямую $BO$, пересекающую $AD$ в точке $E$.
   Рассмотрим треугольники $BOC$ и $EOA$. Поскольку $O$ — середина $AC$, $AO = OC$. Используя подобие треугольников или теорему Менелая для треугольника $ACD$ и секущей $BOE$:
   $\frac{AE}{ED} = \frac{BC}{AD} \cdot 2 = \frac{2k}{5k} \cdot 2 = \frac{4}{5}$
   Ответ: $4:5$.
3. Запишите квадратное уравнение с корнями $\frac{1}{3x_2}$ и $\frac{1}{3x_1}$, где $x_1,x_2$ — корни уравнения \[ x^2 + x - 2019 = 0. \]
   Решение: По теореме Виета для исходного уравнения:
   $x_1 + x_2 = -1$, $x_1x_2 = -2019$
   Для нового уравнения с корнями $y_1 = \frac{1}{3x_2}$, $y_2 = \frac{1}{3x_1}$:
   Сумма корней: $y_1 + y_2 = \frac{1}{3x_2} + \frac{1}{3x_1} = \frac{x_1 + x_2}{3x_1x_2} = \frac{-1}{3 \cdot (-2019)} = \frac{1}{6057}$
   Произведение корней: $y_1y_2 = \frac{1}{9x_1x_2} = \frac{1}{9 \cdot (-2019)} = -\frac{1}{18171}$
   Уравнение: $y^2 - \frac{1}{6057}y - \frac{1}{18171} = 0$ или $18171y^2 - 3y - 1 = 0$
   Ответ: $18171y^2 - 3y - 1 = 0$.
4. Первый член арифметической прогрессии $a_1,a_2,\dots$ равен 2, а её часть $a_1,a_3,a_{11},\dots$ — геометрическая прогрессия. Какова разность арифметической прогрессии?
   Решение: Пусть разность арифметической прогрессии $d$. Тогда:
   $a_1 = 2$, $a_3 = 2 + 2d$, $a_{11} = 2 + 10d$
   По условию $a_1, a_3, a_{11}$ — геометрическая прогрессия:
   $\frac{a_3}{a_1} = \frac{a_{11}}{a_3} \Rightarrow (2 + 2d)^2 = 2(2 + 10d)$
   $4 + 8d + 4d^2 = 4 + 20d$
   $4d^2 - 12d = 0 \Rightarrow 4d(d - 3) = 0 \Rightarrow d = 0$ или $d = 3$
   При $d = 0$ прогрессия постоянна, что удовлетворяет условию. Но по смыслу задачи, вероятно, требуется ненулевая разность.
   Ответ: 3.
5. Решите уравнение \[ 3x^{2019} + 5x^{2017} = 3(1 - 4x)^{2019} + 5(1 - 4x)^{2017}. \] Решение: Заметим, что уравнение имеет вид $f(x) = f(1 - 4x)$, где $f(t) = 3t^{2019} + 5t^{2017}$.
   Рассмотрим возможные решения:
   1. $x = 1 - 4x \Rightarrow 5x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{5}$
   2. Проверим $x = 0$: $0 = 3 + 5 \cdot (-1)^{2017} = 3 - 5 = -2$ — не подходит
   3. Проверим $x = \frac{1}{4}$: Левая часть $3(\frac{1}{4})^{2019} + 5(\frac{1}{4})^{2017}$, правая часть $3(0)^{2019} + 5(0)^{2017} = 0$ — не равно
   Единственное решение $x = \frac{1}{5}$.
   Ответ: $\frac{1}{5}$.