СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 10 в 11 класс 2011 Вариант 1

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

2011 год

ХимБио

1. Цену на некоторый товар сначала снизили на $40\%$, а потом повысили на $30\%$. На сколько процентов и как изменилась первоначальная цена товара?
2. Андрей, Борис, Вадим и Геннадий заняли первые четыре места в соревновании по перетягиванию каната. На вопрос корреспондента, какое место занял каждый из них, было получено три ответа:
   1. Андрей — первое, Борис — второе;
   2. Андрей — второе, Геннадий — третье;
   3. Вадим — второе, Геннадий — четвёртое.
   В каждом из этих ответов одна часть правдива, а вторая ложна. Кто занял какое место?
3. Не пользуясь калькулятором, сравните с единицей выражение \[ \biggl(\frac{2}{\sqrt{3}-1} + \frac{3}{\sqrt{3}-2} + \frac{15}{3-\sqrt{3}}\biggr) \cdot \frac{1}{5 + \sqrt{3}}. \]
4. Диагонали \(AC\) и \(BD\) четырёхугольника \(ABCD\) перпендикулярны и равны 2 и 8 соответственно. Найдите площадь четырёхугольника, образованного отрезками, соединяющими середины сторон четырёхугольника \(ABCD\).
5. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ \frac{a x^2 + (a - 3)x + 1}{3x + 1} = 0 \] не имеет решений?

Решения задач

1. Цену на товар сначала снизили на $40\%$, потом повысили на $30\%$. Пусть начальная цена \( P \). После снижения: \( P \cdot 0,6 \). После повышения: \( 0,6P \cdot 1,3 = 0,78P \). Итоговая цена составляет $78\%$ от исходной, следовательно, уменьшилась на \( 100\ 78% = 22% \).
   Ответ: снизилась на $22\%$.
2. Рассмотрим утверждения:
   1. Андрей — первое, Борис — второе.
   2. Андрей — второе, Геннадий — третье.
   3. Вадим — второе, Геннадий — четвёртое.
   Предположим, что в третьем ответе правда о Вадиме (второе место). Тогда Геннадий не может быть четвёртым (ложь). Из второго ответа: Андрей не второе (ложь), значит Геннадий — третье (правда). Из первого ответа: Андрей не первое (ложь), Борис — второе (правда). Но Вадим уже на втором — противоречие.
   Альтернативное решение: В третьем ответе правда о Геннадии (четвёртое). Тогда Вадим не второе (ложь). Из первого ответа: одна часть должна быть правдой. Если Борис второе (правда), то Андрей не первое (ложь). Тогда из второго ответа: Геннадий третье (ложь), значит Андрей второе (правда). Но Вадим тогда должен быть первым. Распределение: Вадим — 1, Борис — 2, Андрей — 3, Геннадий — 4. Проверяем:
   • Первый ответ: Андрей — 1 (ложь), Борис — 2 (правда).
   • Второй ответ: Андрей — 2 (ложь), Геннадий — 3 (ложь). Неверно.
   Верное распределение: Андрей — 1, Вадим — 2, Геннадий — 3, Борис — 4.
   Ответ: Андрей — 1, Вадим — 2, Геннадий — 3, Борис — 4.
3. Упростим выражение: \[ \frac{2}{\sqrt{3}-1} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{3}+1, \] \[ \frac{3}{\sqrt{3}-2} \cdot \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2} = -3(\sqrt{3}+2), \] \[ \frac{15}{3-\sqrt{3}} \cdot \frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \frac{5}{2}(3+\sqrt{3}). \] Суммируем: \[ (\sqrt{3}+1) - 3(\sqrt{3}+2) + \frac{5}{2}(3+\sqrt{3}) = \frac{1}{2}(5+\sqrt{3}). \] Умножаем на \(\frac{1}{5+\sqrt{3}}\): \[ \frac{\frac{5 + \sqrt{3}}{2}}{5+\sqrt{3}} = \frac{1}{2} < 1. \] Ответ: выражение меньше 1.
4. Четырёхугольник из середин сторон исходного — параллелограмм Вариньона. Его площадь равна половине площади исходного четырёхугольника: \[ S_{\text{ист}} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8 = 8, \] \[ S_{\text{пар}} = \frac{8}{2} = 4. \] Ответ: 4.
5. Уравнение не имеет решений, если:
   1. Либо числитель \( a x^2 + (a-3)x + 1 \) не имеет действительных корней (\( D < 0 \)): \[ D = (a-3)^2 - 4a = a^2 - 10a + 9 < 0 \implies a \in (1, 9). \]
   2. Либо корни числителя совпадают с \( x = -\frac{1}{3} \) (исключён из ОДЗ): \[ a\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + (a-3)\left(-\frac{1}{3}\right) + 1 = 0 \implies a = 9. \]
   Объединяя условия: \[ a \in [1, 9]. \] Ответ: \( a \in [1, 9] \).