СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2016 год вариант 2

1. Два поезда отправились навстречу друг другу из пунктов \(A\) и \(B\) в 12:30. В 15:30 они прибыли на одну и ту же станцию, сделали остановку и, простояв одинаковое время, продолжили путь. Сколько времени длилась остановка, если первый поезд прибыл в пункт \(B\) в 18:30, а второй прибыл в пункт \(A\) в 21:00? Каждый поезд двигался с постоянной скоростью.
2. При каких значениях \(b\) расстояние между двумя различными точками, в которых парабола \[ y = x^2 + b x + 1 \] пересекает ось \(Ox\), не превосходит 7?
3. Найдите количество натуральных чисел, не превосходящих 4011, которые кратны 3 и не кратны 7.
4. Дана трапеция с основаниями 8 и 18. Известно, что в неё можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. Найдите площадь трапеции.
5. На какую цифру оканчивается число \[ 42^{3003^{24}} \;? \]

Решения задач

1. Два поезда отправились навстречу друг другу из пунктов \(A\) и \(B\) в 12:30. В 15:30 они прибыли на одну и ту же станцию, сделали остановку и, простояв одинаковое время, продолжили путь. Сколько времени длилась остановка, если первый поезд прибыл в пункт \(B\) в 18:30, а второй прибыл в пункт \(A\) в 21:00?
   Решение:
   Время движения до встречи: 15:30 - 12:30 = 3 часа.
   Первый поезд прибыл в B через 18:30 - 15:30 = 3 часа после встречи, второй в A через 21:00 - 15:30 = 5,5 часов. Пусть остановка длилась \(t\) часов. Тогда время движения после встречи:
   Первый поезд: \(3 - t\) часов
   Второй поезд: \(5,5 - t\) часов
   Отношение скоростей обратно пропорционально времени движения после встречи:
   \(\frac{v_1}{v_2} = \frac{5,5 - t}{3 - t}\)
   До встречи поезда прошли \(3v_1\) и \(3v_2\) соответственно. После встречи первый проехал \(3v_2\) со скоростью \(v_1\), второй \(3v_1\) со скоростью \(v_2\):
   \(\frac{3v_2}{v_1} = 3 - t\) и \(\frac{3v_1}{v_2} = 5,5 - t\)
   Перемножив уравнения: \(9 = (3 - t)(5,5 - t)\)
   \(t^2 - 8,5t + 7,5 = 0\)
   \(2t^2 - 17t + 15 = 0\)
   Дискриминант: \(D = 289 - 120 = 169\)
   \(t = \frac{17 \pm 13}{4}\) → \(t = 1\) час (второй корень \(t = 7,5\) не подходит)
   Ответ: 1 час.
   
   
2. При каких значениях \(b\) расстояние между двумя различными точками, в которых парабола \(y = x^2 + b x + 1\) пересекает ось \(Ox\), не превосходит 7?
   Решение:
   Корни уравнения \(x^2 + bx + 1 = 0\):
   \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4}}{2}\)
   Расстояние между корнями: \(\sqrt{b^2 - 4}\)
   Условие: \(\sqrt{b^2 - 4} \leq 7\)
   \(b^2 - 4 \leq 49\) → \(b^2 \leq 53\) → \(|b| \leq \sqrt{53}\)
   Условие существования корней: \(b^2 - 4 \geq 0\) → \(|b| \geq 2\)
   Ответ: \(b \in [-\sqrt{53}, -2] \cup [2, \sqrt{53}]\).
   
   
3. Найдите количество натуральных чисел, не превосходящих 4011, которые кратны 3 и не кратны 7.
   Решение:
   Количество чисел, кратных 3: \(\left\lfloor \frac{4011}{3} \right\rfloor = 1337\)
   Количество чисел, кратных 21: \(\left\lfloor \frac{4011}{21} \right\rfloor = 191\)
   Искомое количество: \(1337 - 191 = 1146\)
   Ответ: 1146.
   
   
4. Дана трапеция с основаниями 8 и 18. Известно, что в неё можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. Найдите площадь трапеции.
   Решение:
   Для вписанной трапеции: сумма оснований равна сумме боковых сторон → \(8 + 18 = 26\) → боковые стороны по 13.
   Для описанной трапеции: она должна быть равнобедренной. Высота трапеции:
   \(h = \sqrt{13^2 - \left(\frac{18 - 8}{2}\right)^2} = \sqrt{169 - 25} = 12\)
   Площадь: \(S = \frac{8 + 18}{2} \cdot 12 = 13 \cdot 12 = 156\)
   Ответ: 156.
   
   
5. На какую цифру оканчивается число \(42^{3003^{24}}\)?
   Решение:
   Последняя цифра числа определяется последней цифрой основания и показателя:
   \(42^{3003^{24}} \equiv 2^{3003^{24} \mod 4} \mod 10\)
   \(3003 \equiv 3 \mod 4\) → \(3003^{24} \equiv 3^{24} \equiv (3^2)^{12} \equiv 1^{12} \equiv 1 \mod 4\)
   Следовательно: \(2^1 \equiv 2 \mod 10\)
   Ответ: 2.