СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2016 год вариант 1
Печать
youit.school ©
Письменная работа по математике для поступающих в 10 класс.
Выездной экзамен. Физико-математическое отделение. Весна 2016~г.
Вариант 1
Выездной экзамен. Физико-математическое отделение. Весна 2016~г.
Вариант 1
- Два туриста вышли навстречу друг другу из пунктов \(A\) и \(B\) в 9:00. Они встретились в 12:00, некоторое время побеседовали и продолжили путь. Сколько времени длилась беседа, если первый турист пришёл в пункт \(B\) в 17:00, а второй пришёл в пункт \(A\) в 14:30? Каждый турист двигался с постоянной скоростью.
- При каких значениях \(a\) расстояние между двумя различными точками, в которых парабола \[ y = x^2 + a x + 1 \] пересекает ось \(Ox\), не превосходит 3?
- Найдите количество натуральных чис, не превосходящих 2016, которые кратны 3 и не кратны 5.
- Дана трапеция с основаниями 4 и 16. Известно, что в неё можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. Найдите площадь трапеции.
- На какую цифру оканчивается число \[ 22^{3003^{22}} ? \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Два туриста вышли навстречу друг другу из пунктов \(A\) и \(B\) в 9:00. Они встретились в 12:00, некоторое время побеседовали и продолжили путь. Сколько времени длилась беседа, если первый турист пришёл в пункт \(B\) в 17:00, а второй пришёл в пункт \(A\) в 14:30? Каждый турист двигался с постоянной скоростью.
Решение: До встречи туристы шли 3 часа. Первый турист после встречи потратил $17:00 - 12:00 = 5$ часов на оставшийся путь, который второй турист прошёл за $14:30 - 12:00 = 2,5$ часа.
Отношение скоростей: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{2,5}{3} = \frac{5}{6}$.
Полное расстояние: $3(V_1 + V_2) = 3(\frac{5}{6}V_2 + V_2) = \frac{33}{6}V_2 = 5,5V_2$.
Время первого туриста на весь путь без остановки: $\frac{5,5V_2}{V_1} = \frac{5,5V_2}{\frac{5}{6}V_2} = 6,6$ часов = 6 ч 36 мин.
Разница с реальным временем: $17:00 - 9:00 - 6ч36мин = 1ч24мин = 1,4$ часа.
Ответ: Беседа длилась $\boxed{1,4}$ часа (1 час 24 минуты). - При каких значениях \(a\) расстояние между двумя различными точками, в которых парабола
\[
y = x^2 + a x + 1
\]
пересекает ось \(Ox\), не превосходит 3?
Решение: Уравнение $x^2 + ax + 1 = 0$ имеет два корня при $D = a^2 - 4 > 0 \Rightarrow |a| > 2$.
Расстояние между корнями: $\sqrt{(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{a^2 - 4}$.
Условие: $\sqrt{a^2 - 4} \leq 3 \Rightarrow a^2 - 4 \leq 9 \Rightarrow a^2 \leq 13 \Rightarrow |a| \leq \sqrt{13}$.
Объединяя условия: $2 < |a| \leq \sqrt{13}$.
Ответ: $\boxed{a \in [-\sqrt{13}, -2) \cup (2, \sqrt{13}]}$. - Найдите количество натуральных чисел, не превосходящих 2016, которые кратны 3 и не кратны 5.
Решение:
Количество чисел кратных 3: $\left\lfloor \frac{2016}{3} \right\rfloor = 672$.
Количество чисел кратных 15: $\left\lfloor \frac{2016}{15} \right\rfloor = 134$.
Искомое количество: $672 - 134 = 538$.
Ответ: $\boxed{538}$. - Дана трапеция с основаниями 4 и 16. Известно, что в неё можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Трапеция описанная ⇒ суммы оснований равна сумме боковых сторон: $4 + 16 = 20$ ⇒ боковые стороны по 10 каждая.
Трапеция вписанная ⇒ равнобедренная. Высота: $h = \sqrt{10^2 - \left(\frac{16-4}{2}\right)^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$.
Площадь: $\frac{4 + 16}{2} \cdot 8 = 80$.
Ответ: $\boxed{80}$. - На какую цифру оканчивается число
\[
22^{3003^{22}} ?
\]
Решение:
Последняя цифра 22 ≡ 2 mod 10. Ищем $2^{3003^{22}} \mod 10$.
Цикл степеней 2 по модулю 10: 2, 4, 8, 6. Период 4.
Найдем показатель степени по модулю 4: $3003^{22} ≡ 3^{22} \mod 4$.
$3^{22} = (3^2)^{11} ≡ (-1)^{11} ≡ -1 ≡ 3 \mod 4$.
Итоговая степень: $2^{4k + 3} ≡ 8 \mod 10$.
Ответ: $\boxed{8}$.
Материалы школы Юайти