СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2016 год вариант 1

1. Велосипедисту надо было проехать расстояние в 30 км. Выехав на 3 минуты позже назначенного срока, он ехал со скоростью на 1 км/ч большей, чем планировал, и приехал на место вовремя. С какой скоростью ехал велосипедист?
2. Решить уравнение \[ x\lvert x\rvert - 4x + 3 = 0. \]
3. В геометрической прогрессии \(a_1,a_2,\dots,a_{2016}\) произведение членов с чётными номерами в \(2^{1008}\) раз больше произведения членов с нечётными номерами. Найти знаменатель этой прогрессии.
4. В остроугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(86^\circ\). Найдите угол \(BAO\), где \(O\) — центр окружности, описанной около треугольника \(ABC\).
5. Корни квадратного уравнения \(x^2 + px + q = 0\) являются целыми числами. Найти \(p\) и \(q\), если \(p + q = 112\).

Решения задач

1. Велосипедисту надо было проехать расстояние в 30 км. Выехав на 3 минуты позже назначенного срока, он ехал со скоростью на 1 км/ч большей, чем планировал, и приехал на место вовремя. С какой скоростью ехал велосипедист?
   Решение: Пусть планируемая скорость велосипедиста \( v \) км/ч. Тогда время по плану: \[ \frac{30}{v} \text{ часов.} \] Фактическое время: \[ \frac{30}{v + 1} \text{ часов.} \] Разница во времени 3 минуты \( = \frac{3}{60} = 0,05 \) часа: \[ \frac{30}{v} - \frac{30}{v + 1} = 0,05. \] Решаем уравнение: \[ 30(v + 1) - 30v = 0,05v(v + 1) \implies 30 = 0,05v^2 + 0,05v \implies v^2 + v - 600 = 0. \] Корни: \[ v = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 2400}}{2} = \frac{-1 \pm 49}{2} \implies v = 24 \text{ км/ч.} \] Фактическая скорость: \[ v + 1 = 25 \text{ км/ч.}\]
   Ответ: 25 км/ч.
2. Решить уравнение \[ x\lvert x\rvert - 4x + 3 = 0. \]
   Решение: Рассмотрим два случая.
   1. \( x \geq 0 \): \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \implies x = 1, \quad x = 3. \]
   2. \( x 0 \) — не подходит; \( -2 - \sqrt{7} < 0 \).
   Ответ: \( x = 1 \), \( x = 3 \), \( x = -2 - \sqrt{7} \).
3. В геометрической прогрессии \(a_1,a_2,\dots,a_{2016}\) произведение членов с чётными номерами в \(2^{1008}\) раз больше произведения членов с нечётными номерами. Найти знаменатель этой прогрессии.
   Решение: Пусть знаменатель прогрессии \( q \). Произведение чётных членов: \[ a_2 \cdot a_4 \cdot \ldots \cdot a_{2016} = a_1^{1008} q^{1 + 3 + \ldots + 2015} = a_1^{1008} q^{1008^2}. \] Произведение нечётных членов: \[ a_1 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_{2015} = a_1^{1008} q^{0 + 2 + \ldots + 2014} = a_1^{1008} q^{1007 \cdot 1008}. \] Отношение: \[ \frac{a_{\text{чёт}}}{a_{\text{нечёт}}} = q^{1008} = 2^{1008} \implies q = 2\].
   Ответ: 2.
4. В остроугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(86^\circ\). Найдите угол \(BAO\), где \(O\) — центр окружности, описанной около треугольника \(ABC\).
   Решение: Центр описанной окружности \( O \) — точка пересечения серединных перпендикуляров. Угол \( BAO \) равен \( 90^\circ - \angle C \): \[ \angle BAO = 90^\circ - 86^\circ = 4^\circ. \\ Ответ: \(4^\circ\).
5. Корни квадратного уравнения \(x^2 + px + q = 0\) являются целыми числами. Найти \(p\) и \(q\), если \(p + q = 112\). \\ Решение: Пусть корни \( m \) и \( n \). По теореме Виета: \[ m + n = -p, \quad mn = q. \] Условие: \[ -p + q = 112 \implies mn - m - n = 112 \implies (m - 1)(n - 1) = 113. \] 113 — простое число. Варианты: \[ (m - 1, n - 1) = (1, 113) \implies m = 2, \quad n = 114. \] Тогда: \[ p = -(2 + 114) = -116, \quad q = 2 \cdot 114 = 228.
   Ответ: \(p = -116\), \(q = 228\).