СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2015 год вариант 2

1. Решить систему уравнений \[ \begin{cases} \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} = 5,\\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 3; \end{cases} \]
2. Вычислить значение выражения \[ \sqrt{x^2 + 24x + 144} + \sqrt{x^2 - 16x + 64}, \quad\text{если }x = 0{,}2016^5. \]
3. В треугольнике \(KLM\) сторона \(KM\) имеет длину \(4\) м, высота \(LA\), опущенная на сторону \(KM\), имеет длину \(2\sqrt{2}\) м. Основание \(A\) высоты \(LA\) лежит на стороне \(KM\), длина отрезка \(KA\) равна длине отрезка \(LM\). Найти длину стороны \(KL\).
4. Школьная столовая закупила 150 кг овощей — огурцов и помидоров — всего на 3600 руб., потратив одинаковые суммы на огурцы и на помидоры. Найдите, сколько килограммов огурцов было куплено, если известно, что 1 кг помидоров стоит на 10 руб. дороже 1 кг огурцов.
5. Сравнить числа: \[ 28^{49}\quad\text{и}\quad 63^{41}. \]

Решения задач

1. Решить систему уравнений \[ \begin{cases} \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} = 5,\\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 3; \end{cases} \]
   Решение: Пусть \( a = \dfrac{1}{x} \) и \( b = \dfrac{1}{y} \). Система примет вид: \[ \begin{cases} a^2 + b^2 = 5, \\ a + b = 3. \end{cases} \] Возведем второе уравнение в квадрат: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 9 \). Вычитая первое уравнение, получим \( 2ab = 4 \), откуда \( ab = 2 \). Решаем систему: \[ \begin{cases} a + b = 3,\\ ab = 2. \end{cases} \] Корни уравнения \( t^2 - 3t + 2 = 0 \): \( t = 1 \) и \( t = 2 \). Получаем два решения: \[ \begin{cases} a = 1,\\ b = 2; \end{cases} \quad \begin{cases} a = 2,\\ b = 1. \end{cases} \] Возвращаясь к исходным переменным: \[ \begin{cases} x = 1,\\ y = \dfrac{1}{2}; \end{cases} \quad \begin{cases} x = \dfrac{1}{2},\\ y = 1. \end{cases} \] Ответ: \((1; \dfrac{1}{2})\); \((\dfrac{1}{2}; 1)\).
   
   
2. Вычислить значение выражения \[ \sqrt{x^2 + 24x + 144} + \sqrt{x^2 - 16x + 64}, \quad\text{при }x = 0{,}2016^5. \]
   Решение: Упростим выражения под корнями: \[ \sqrt{x^2 + 24x + 144} = \sqrt{(x + 12)^2} = |x + 12| = x + 12, \] \[ \sqrt{x^2 - 16x + 64} = \sqrt{(x - 8)^2} = |x - 8| = 8 - x \quad (\text{так как }x = 0{,}2016^5 < 8). \] Подставляя значения: \[ (x + 12) + (8 - x) = 12 + 8 = 20. \] Ответ: 20.
   
   
3. В треугольнике \(KLM\) сторона \(KM\) имеет длину \(4\) м, высота \(LA\) равна \(2\sqrt{2}\) м, \(KA = LM\). Найти длину стороны \(KL\).
   Решение: Пусть \(KA = LM = a\), тогда \(AM = 4 - a\). Применяя теорему Пифагора к треугольникам \(KLA\) и \(LMA\): \[ KL^2 = KA^2 + LA^2 = a^2 + (2\sqrt{2})^2 = a^2 + 8, \] \[ LM^2 = AM^2 + LA^2 \Rightarrow a^2 = (4 - a)^2 + 8. \] Раскрываем уравнение: \[ a^2 = 16 - 8a + a^2 + 8 \Rightarrow 8a = 24 \Rightarrow a = 3. \] Тогда: \[ KL = \sqrt{3^2 + 8} = \sqrt{17} \text{ м.} \] Ответ: \(\sqrt{17}\) метров.
   
   
4. Школьная столовая закупила 150 кг огурцов и помидоров на 3600 руб., потратив суммы поровну. Найдите массу огурцов, если 1 кг помидоров дороже на 10 руб.
   Решение: Пусть цена огурцов \(p\) руб/кг, помидоров \((p + 10)\) руб/кг. Общие расходы: \[ \frac{3600}{2} = 1800 \text{ руб. на каждый вид.} \] Пусть \(c\) — масса огурцов, тогда масса помидоров \(150 - c\). Система уравнений: \[ \begin{cases} c \cdot p = 1800, \\ (150 - c) \cdot (p + 10) = 1800. \end{cases} \] Из первого уравнения: \(p = \dfrac{1800}{c}\). Подставляя во второе: \[ (150 - c)\left(\dfrac{1800}{c} + 10\right) = 1800 \Rightarrow (150 - c)(1800 + 10c) = 1800c. \] Раскрывая скобки: \[ 27000 - 8c^2 - 30c = 0 \Rightarrow c^2 + 210c - 27000 = 0. \] Решая квадратное уравнение: \[ c = \frac{-210 + \sqrt{44100 + 108000}}{2} = \frac{390}{2} = 90 \text{ кг.} \] Ответ: 90 кг.
   
   
5. Сравнить числа \(28^{49}\) и \(63^{41}\).
   Решение: Сравним логарифмы: \[ \ln 28^{49} = 49 (\ln 4 + \ln 7) \approx 49 (2 \cdot 0,6931 + 1,9459) \approx 49 \cdot 3,3821 \approx 165,719, \] \[ \ln 63^{41} = 41 (\ln 7 + \ln 9) \approx 41 (1,9459 + 2,1972) \approx 41 \cdot 4,1431 \approx 169,867. \] Так как \(165,719 < 169,867\), то \(28^{49} < 63^{41}\).
   Ответ: \(63^{41} > 28^{49}\).