СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2015 год вариант 1

1. Решить систему уравнений \[ \begin{cases} \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} = 13,\\ \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 1; \end{cases} \]
2. Вычислить значение выражения \[ \sqrt{x^2 - 22x + 121} + \sqrt{x^2 + 14x + 49}, \quad\text{если }x = 0{,}2015^6. \]
3. В треугольнике \(ABC\) сторона \(AB\) имеет длину \(3\)~м, высота \(CD\), опущенная на сторону \(AB\), имеет длину \(\sqrt{3}\)~м. Основание \(D\) высоты \(CD\) лежит на стороне \(AB\), длина отрезка \(AD\) равна длине отрезка \(BC\). Найти длину стороны \(AC\).
4. Сочинение писало 100 человек. Им было раздано 480 листов бумаги, причём каждая девочка получила на два листа больше мальчика, а все мальчики получили столько же листов, сколько все девочки. Сколько было мальчиков?
5. Сравнить числа: \[ 33^{41}\quad\text{и}\quad 44^{33}. \]

Решения задач

1. Решить систему уравнений \[ \begin{cases} \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} = 13,\\ \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 1; \end{cases} \] Решение: Введем замену: \[ a = \dfrac{1}{x},\quad b = \dfrac{1}{y} \] Система примет вид: \[ \begin{cases} a^2 + b^2 = 13\\ a - b = 1 \end{cases} \] Из второго уравнения: $a = b + 1$. Подставляем в первое: \[ (b + 1)^2 + b^2 = 13 \Rightarrow 2b^2 + 2b + 1 = 13 \Rightarrow 2b^2 + 2b - 12 = 0 \Rightarrow b^2 + b - 6 = 0 \] Решения: \[ b = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \Rightarrow \begin{cases} b = 2 \Rightarrow a = 3 \\ b = -3 \Rightarrow a = -2 \end{cases} \] Возвращаемся к исходным переменным: \[ \begin{cases} \dfrac{1}{x} = 3 \Rightarrow x = \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{y} = 2 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2} \end{cases} \quad\text{или}\quad \begin{cases} \dfrac{1}{x} = -2 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{y} = -3 \Rightarrow y = -\dfrac{1}{3} \end{cases} \] Ответ: $\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}\right),\ (-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{3})$.
   
   
2. Вычислить значение выражения \[ \sqrt{x^2 - 22x + 121} + \sqrt{x^2 + 14x + 49}, \quad\text{если }x = 0{,}2015^6. \] Решение: \[ \sqrt{(x - 11)^2} + \sqrt{(x + 7)^2} = |x - 11| + |x + 7| \] Так как $0{,}2015^6 ≈ 0$, подставляем: \[ |0 - 11| + |0 + 7| = 11 + 7 = 18 \] Ответ: 18.
   
   
3. В треугольнике \(ABC\) сторона \(AB\) имеет длину \(3\)~м, высота \(CD\), опущенная на сторону \(AB\), имеет длину \(\sqrt{3}\)~м. Основание \(D\) высоты \(CD\) лежит на стороне \(AB\), длина отрезка \(AD\) равна длине отрезка \(BC\). Найти длину стороны \(AC\). Решение: Пусть \(AD = BC = x\), тогда \(BD = 3 - x\). Используем теорему Пифагора для треугольников \(ADC\) и \(BDC\): \[ AC^2 = AD^2 + CD^2 = x^2 + 3 \] \[ BC^2 = BD^2 + CD^2 \Rightarrow x^2 = (3 - x)^2 + 3 \Rightarrow x^2 = 9 - 6x + x^2 + 3 \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow x = 2 \] Тогда: \[ AC = \sqrt{2^2 + 3} = \sqrt{7}\ \text{м} \] Ответ: \(\sqrt{7}\ \text{м}\).
   
   
4. Сочинение писало 100 человек. Им было раздано 480 листов бумаги, причём каждая девочка получила на два листа больше мальчика, а все мальчики получили столько же листов, сколько все девочки. Сколько было мальчиков? Решение: Пусть мальчиков \(m\), девочек \(100 - m\). Мальчик получает \(x\) листов, девочка \(x + 2\) листов. Система: \[ \begin{cases} mx = (100 - m)(x + 2) \\ mx + (100 - m)(x + 2) = 480 \end{cases} \] Из первого уравнения: \[ mx = 100x + 200 - mx - 2m \Rightarrow 2mx + 2m = 100x + 200 \Rightarrow m = \dfrac{50(x + 2)}{x + 1} \] Из второго уравнения и равенства долей: \(2mx = 480 \Rightarrow mx = 240\). Подставляем: \[ \dfrac{50(x + 2)}{x + 1} \cdot x = 240 \Rightarrow 50x(x + 2) = 240(x + 1) \Rightarrow 5x^2 - 14x - 24 = 0 \] Корни: \[ x = \dfrac{14 + 26}{10} = 4 \quad (x > 0) \] Тогда: \[ m = \dfrac{50(4 + 2)}{4 + 1} = 60 \] Ответ: 60 мальчиков.
   
   
5. Сравнить числа: \[ 33^{41}\quad\text{и}\quad 44^{33} \] Решение: Представим числа как степени: \[ 33^{41} = (3 \cdot 11)^{41} = 3^{41} \cdot 11^{41},\quad 44^{33} = (4 \cdot 11)^{33} = 4^{33} \cdot 11^{33} \] Сравним: \[ \dfrac{33^{41}}{44^{33}} = \dfrac{3^{41} \cdot 11^{41}}{4^{33} \cdot 11^{33}} = \dfrac{3^{41}}{4^{33}} \cdot 11^{8} \] Используем логарифмирование: \[ 41 \ln 3 + 8 \ln 11 \approx 41 \cdot 1.0986 + 8 \cdot 2.3979 \approx 64.23 \] \[ 33 \ln 4 \approx 33 \cdot 1.3863 \approx 45.75 \] Так как \(64.23 > 45.75\), то \(33^{41} > 44^{33}\). Ответ: \(33^{41} > 44^{33}\).