СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2017 год вариант 2

1. Коля пошёл в школу, чтобы успеть ровно к первому уроку. Через 6 минут после выхода, он обнаружил, что забыл дома свой смартфон. Коля вернулся (с обычной скоростью) домой, взял смартфон и понял, что опаздывает в школу. Поэтому он побежал и опоздал всего на 5 минут на первый урок. Известно, что Коля бегает в полтора раза быстрее, чем ходит. Сколько времени у него обычно занимает дорога до школы?
2. Найти все пары натуральных чисел \((m,n)\), такие, что квадрат числа \(m\), умноженный на 16, больше квадрата числа \(n\) на 55.
3. Сумма первых 50 членов геометрической прогрессии \(S_{50} = 20\), сумма первых 100 членов \(S_{100} = 25\). Найдите сумму первых 150 членов этой прогрессии.
4. На катетах прямоугольного треугольника \(ABC\) (\(\angle C=90^\circ\)) во внешнюю сторону построены квадраты \(AKMC\) и \(BCTR\). Отрезок \(BK\) пересекает катет \(AC\) в точке \(B_1\), отрезок \(AP\) пересекает катет \(BC\) в точке \(A_1\). Найти отношение \(B_1C : A_1C\).
5. Найдите сумму действительных корней уравнения \[ \Bigl(x^2 + \tfrac{1}{x^2}\Bigr) + 150\bigl(x - \tfrac{1}{x}\bigr) + 99 = 0. \]

1. 21 мин.
2. \(m = 2,\, n = 3\) и \(m = 7,\, n = 27\)
3. 26,25
4. \(1:1\)
5. \(-150\)

Решения задач

1. Коля пошёл в школу со скоростью $v$ км/мин, обычное время пути $t$ минут. После возвращения за смартфоном он потратил 6 минут вперёд и 6 назад (всего 12 минут), затем бежал за время $\frac{t}{1.5}$. Общее время пути: $12 + \frac{2t}{3}$. Опоздание: $12 + \frac{2t}{3} - t = 5$ мин.
   Уравнение: $\frac{2t}{3} = 5 + (t - 12)$
   Решение: $\frac{2t}{3} = t - 7 \Rightarrow \frac{t}{3} = 7 \Rightarrow t = 21$
   Ответ: 21 минута.
   
   
2. Уравнение: $16m^2 - n^2 = 55$
   Разложим на множители: $(4m - n)(4m + n) = 55$
   Пары множителей: (1, 55) и (5, 11).
   Для $(4m - n = 5,\ 4m + n = 11)$: $8m = 16 \Rightarrow m = 2,\ n = 3$.
   Для $(4m - n = 1,\ 4m + n = 55)$: $8m = 56 \Rightarrow m = 7,\ n = 27$.
   Ответ: $(2, 3)$ и $(7, 27)$.
   
   
3. Пусть сумма первых 50 членов: $S_{50} = \frac{b_1(q^{50}-1)}{q-1} = 20$, сумма 100: $S_{100} = S_{50} + q^{50} \cdot S_{50} = 25$
   Уравнение: $20(1 + q^{50}) = 25 \Rightarrow q^{50} = \frac{1}{4}$
   Сумма 150 членов: $S_{150} = S_{100} + q^{100} \cdot S_{50} = 25 + \frac{1}{16} \cdot 20 = 26.25$
   Ответ: 26.25.
   
   
4. Прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AC = a$, $BC = b$. Координаты точек пересечения:
   Отрезок $BK$ пересекает $AC$ в точке $B_1(0, \frac{ab}{a+b})$, отрезок $AP$ пересекает $BC$ в точке $A_1(\frac{ab}{a+b}, 0)$.
   Расстояния: $B_1C = \frac{ab}{a+b}$, $A_1C = \frac{ab}{a+b}$.
   Отношение: $B_1C : A_1C = 1 : 1$
   Ответ: 1:1.
   
   
5. Замена $t = x - \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 + 2$. Уравнение: $t^2 + 150t + 101 = 0$.
   Теорема Виета: сумма корней $t_1 + t_2 = -150$. Для уравнений $x - \frac{1}{x} = t_i$ сумма корней $x_{i1} + x_{i2} = t_i$.
   Общая сумма: $t_1 + t_2 = -150$
   Ответ: $-150$.