СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2017 год вариант 1

1. Петя пошёл в школу, чтобы успеть ровно к первому уроку. Через 5 минут после выхода, он обнаружил, что за ним увязался пёс Бобик. Петя ответил (с обычной скоростью) Бобику домой и понял, что опаздывает в школу. Поэтому он побежал и опоздал всего на 2 минуты на первый урок. Известно, что Петя бегает в два раза быстрее, чем ходит. Сколько времени у него обычно занимает дорога до школы?
2. Найти все пары натуральных чисел \((p,q)\), такие, что квадрат числа \(p\), умноженный на 9, больше квадрата числа \(q\) на 35.
3. Сумма первых 100 членов геометрической прогрессии \(S_{100}=10\), а сумма первых 200 членов \(S_{200}=120\). Найдите сумму первых 300 членов этой прогрессии.
4. На катетах прямоугольного треугольника \(ABC\) (\(\angle C=90^\circ\)) во внешнюю сторону построены квадраты \(AKMC\) и \(BCTR\). Отрезок \(BK\) пересекает катет \(AC\) в точке \(B_1\), отрезок \(AP\) пересекает катет \(BC\) в точке \(A_1\). Найти угол \(\angle A_1B_1C\).
5. Найдите сумму действительных корней уравнения \[ \Bigl(x^2 + \tfrac1{x^2}\Bigr) + 100\bigl(x - \tfrac1{x}\bigr) + 111 = 0. \]

1. 16 мин.
2. \(p=2,\;q=1\) и \(p=6,\;q=17\)
3. 1330
4. \(45^\circ\)
5. \(-100\)

Решения задач

1. Петя пошёл в школу, чтобы успеть ровно к первому уроку. Через 5 минут после выхода, он обнаружил, что за ним увязался пёс Бобик. Петя вернулся домой и побежал в школу, опоздав на 2 минуты. Сколько времени у него обычно занимает дорога до школы?
   Решение: Пусть обычное время пути — \( t \) минут. Тогда расстояние до школы: \( s = v \cdot t \), где \( v \) — обычная скорость.
   На путь туда-обратно до дома Петя потратил \(5 + 5 = 10\) минут.
   Бежал он со скоростью \( 2v \), затратив \( \frac{s}{2v} = \frac{t}{2} \) минут.
   Общее время: \( 10 + \frac{t}{2} = t + 2 \), откуда \(\frac{t}{2} = 8 \Rightarrow t = 16\).
   Ответ: 16 минут.
   
   
2. Найти все пары натуральных чисел \((p,q)\), такие, что \( 9p^2 - q^2 = 35 \).
   Решение: \[ 9p^2 - q^2 = (3p - q)(3p + q) = 35 \]
   Натуральные делители 35: \( 1 \times 35 \), \( 5 \times 7 \).
   • Случай 1: \[ \begin{cases} 3p - q = 1 \\ 3p + q = 35 \end{cases} \Rightarrow 6p = 36 \Rightarrow p = 6, \quad q = 3 \cdot 6 - 1 = 17 \]
   • Случай 2: \[ \begin{cases} 3p - q = 5 \\ 3p + q = 7 \end{cases} \Rightarrow 6p = 12 \Rightarrow p = 2, \quad q = 3 \cdot 2 - 5 = 1 \]
   Ответ: \((6, 17)\) и \((2, 1)\).
   
   
3. Сумма первых 100 членов геометрической прогрессии \( S_{100} = 10 \), а сумма первых 200 членов \( S_{200} = 120 \). Найти \( S_{300} \).
   Решение: Выразим суммы: \[ S_{200} = S_{100} + q^{100} \cdot S_{100} \Rightarrow 120 = 10 + 10q^{100} \Rightarrow q^{100} = 11 \] \[ S_{300} = S_{200} + q^{200} \cdot S_{100} = 120 + 10 \cdot (q^{100})^2 = 120 + 10 \cdot 121 = 1330 \] Ответ: 1330.
   
   
4. На катетах прямоугольного треугольника \( ABC \) построены квадраты \( AKMC \) и \( BCTR \). Отрезок \( BK \) пересекает \( AC \) в точке \( B_1 \), отрезок \( AP \) пересекает \( BC \) в точке \( A_1 \). Найти угол \( \angle A_1B_1C \).
   Решение: Пусть \( AC = a \), \( BC = b \). В координатах \( C(0,0) \), \( A(0,a) \), \( B(b,0) \).
   Координаты квадратов:
   • Точка \( K(0, 2a) \) для квадрата \( AKMC \)
   • Точка \( T(2b, 0) \) для квадрата \( BCTR \)
   Уравнение \( BK \): \( \frac{x}{b} + \frac{y}{2a} = 1 \). Подставляя \( y = 0 \), находим \( A_1 \left(\frac{b}{2}, 0 \right) \).
   Уравнение \( AP \): \( \frac{x}{2b} + \frac{y}{a} = 1 \). Подставляя \( x = 0 \), находим \( B_1 \left(0, \frac{a}{2} \right) \).
   Треугольник \( A_1B_1C \): катеты \( \frac{a}{2} \) и \( \frac{b}{2} \), значит, \( \angle A_1B_1C = 45^\circ \).
   Ответ: \( 45^\circ \).
   
   
5. Найти сумму действительных корней уравнения: \[ \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 100\left(x - \frac{1}{x}\right) + 111 = 0 \] Решение: Замена \( y = x - \frac{1}{x} \). Тогда \( x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2 \).
   Подставляем: \[ y^2 + 2 + 100y + 111 = 0 \Rightarrow y^2 + 100y + 113 = 0 \] Сумма корней \( y_1 + y_2 = -100 \).
   Для каждого \( y \), уравнение \( x - \frac{1}{x} = y \) имеет корни с суммой \( y \). Сумма всех действительных корней исходного уравнения: \[ y_1 + y_2 = -100 \] Ответ: \(-100\).