СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2016 год вариант 2

1. Катер прошёл по течению реки 12 км и вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 20 мин больше. Найдите скорость течения, если скорость катера в неподвижной воде равна 15 км/ч.
2. Арина купила 4 ручки и 17 тетрадей за 131 рубль. Ручка стоит дешевле, чем тетрадь, причём каждый из предметов стоит целое число рублей. Сколько суммарно стоят 1 ручка и 1 тетрадь?
3. Парабола \[ y = x^2 + b x + 6 \] пересекает прямую \[ y = a - 2x \] в точках с абсциссами 1 и 2. Найдите \(a\) и \(b\).
4. Дана равнобокая трапеция \(KLMN\) с основаниями \(KM = 12\) и \(LN = 8\). Известно, что продолжения её боковых сторон пересекаются под прямым углом. Найдите площадь трапеции.
5. Про числа \(p\) и \(q\) известно, что \[ 5 \le p q < 7 \quad\text{и}\quad 9 < q \le 23. \] Найдите все \(p\), для которых это возможно.

Решения задач

1. Катер прошёл по течению реки 12 км и вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 20 мин больше. Найдите скорость течения, если скорость катера в неподвижной воде равна 15 км/ч.
   Решение: Пусть скорость течения реки \(x\) км/ч. Время движения по течению: \(\frac{12}{15+x}\), против течения: \(\frac{12}{15-x}\). Разница во времени \(\frac{1}{3}\) часа: \[ \frac{12}{15-x} - \frac{12}{15+x} = \frac{1}{3} \] Упрощая уравнение: \[ \frac{24x}{225 - x^2} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad x^2 + 72x - 225 = 0 \] Корни уравнения: \(x = 3\) (отрицательный корень не подходит).
   Ответ: 3 км/ч.
2. Арина купила 4 ручки и 17 тетрадей за 131 рубль. Ручка стоит дешевле, чем тетрадь, причём каждый из предметов стоит целое число рублей. Сколько суммарно стоят 1 ручка и 1 тетрадь?
   Решение: Пусть ручка стоит \(r\) руб., тетрадь \(t\) руб. Уравнение: \[ 4r + 17t = 131 \] Перебор возможных целых значений \(t\) показывает, что \(t = 7\) (17 тетрадей стоят 119 руб.), тогда \(r = 3\) (4 ручки — 12 руб.). Сумма: \[ r + t = 3 + 7 = 10 \] Ответ: 10 рублей.
3. Парабола \(y = x^2 + bx + 6\) пересекает прямую \(y = a - 2x\) в точках с абсциссами 1 и 2. Найдите \(a\) и \(b\).
   Решение: Подставляя \(x = 1\) и \(x = 2\) в уравнения: \[ \begin{cases} 7 + b = a - 2 \\ 10 + 2b = a - 4 \end{cases} \] Решая систему: \(b = -5\), \(a = 4\).
   Ответ: \(a = 4\), \(b = -5\).
4. Дана равнобокая трапеция \(KLMN\) с основаниями \(KM = 12\) и \(LN = 8\). Известно, что продолжения её боковых сторон пересекаются под прямым углом. Найдите площадь трапеции.
   Решение: Высота трапеции \(h\) находится из условия перпендикулярности боковых сторон. Используя координаты и угловые коэффициенты, получаем \(h = 2\). Площадь: \[ S = \frac{12 + 8}{2} \cdot 2 = 20 \] Ответ: 20.
5. Про числа \(p\) и \(q\) известно, что \[ 5 \le pq < 7 \quad \text{и} \quad 9 < q \le 23. \] Найдите все \(p\), для которых это возможно.
   Решение: Из неравенств: \[ \frac{5}{q} \le p < \frac{7}{q} \] Учитывая \(q \in (9, 23]\), объединение интервалов для \(p\): \[ p \in \left( \frac{5}{23}, \frac{7}{9} \right) \] Ответ: \(p \in \left( \frac{5}{23}, \frac{7}{9} \right)\).