СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2016 год вариант 1

1. Моторная лодка прошла против течения реки 14 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 24 минуты меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 12 км/ч.
2. Вася купил 13 карандашей и 3 ластика за 116 рублей. Карандаш стоит дороже, чем ластик, причём каждый из предметов стоит целое число рублей. Сколько суммарно стоят 1 ластик и 1 карандаш?
3. Парабола \(y = x^2 + b x + 8\) пересекает прямую \(y = 3x + a\) в точках с абсциссами 1 и 3. Найдите \(a\) и \(b\).
4. Дана равнобокая трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD = 10\) и \(BC = 6\). Известно, что продолжения её боковых сторон пересекаются под прямым углом. Найдите площадь трапеции.
5. Про число \(b\) и \(c\) известно, что \(3 \le bc < 5\) и \(7 < c \le 19\). Найдите все \(b\), для которых это возможно.

Решения задач

1. Моторная лодка прошла против течения реки 14 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 24 минуты меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 12 км/ч.
   Решение: Пусть скорость течения реки \(x\) км/ч. Тогда:
   Время против течения: \(\frac{14}{12 - x}\) ч
   Время по течению: \(\frac{14}{12 + x}\) ч
   Разница во времени: \(\frac{14}{12 - x} - \frac{14}{12 + x} = \frac{24}{60} = 0,4\) ч
   Уравнение: \[ \frac{14}{12 - x} - \frac{14}{12 + x} = 0,4 \]
   Умножим на \((12 - x)(12 + x)\): \[ 14(12 + x) - 14(12 - x) = 0,4(144 - x^2) \]
   Упростим: \[ 28x = 0,4(144 - x^2) \quad \Rightarrow \quad x^2 + 70x - 144 = 0 \]
   Решение квадратного уравнения: \[ x = \frac{-70 + \sqrt{5476}}{2} = 2 \text{ км/ч} \]
   Ответ: 2 км/ч.
   
   
2. Вася купил 13~карандашей и 3~ластика за 116~рублей. Карандаш стоит дороже, чем ластик, причём каждый из предметов стоит целое число рублей. Сколько суммарно стоят 1~ластик и 1~карандаш?
   Решение: Пусть карандаш стоит \(k\) руб., ластик — \(l\) руб.: \[ 13k + 3l = 116 \quad (k > l) \]
   Перебор целых решений: \[ 116 - 3l \text{ должно делиться на } 13 \quad \Rightarrow \quad l = 4, \quad k = 8 \]
   Сумма: \(8 + 4 = 12\) руб.
   Ответ: 12 рублей.
   
   
3. Парабола \(y = x^2 + b x + 8\) пересекает прямую \(y = 3x + a\) в точках с абсциссами 1 и 3. Найдите \(a\) и \(b\).
   Решение: Приравниваем уравнения: \[ x^2 + bx + 8 = 3x + a \quad \Rightarrow \quad x^2 + (b - 3)x + (8 - a) = 0 \]
   По теореме Виета: \[ \begin{cases} 1 + 3 = -(b - 3) \\ 1 \cdot 3 = 8 - a \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} b = -1 \\ a = 5 \end{cases} \]
   Ответ: \(a = 5\), \(b = -1\).
   
   
4. Дана равнобокая трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD = 10\) и \(BC = 6\). Известно, что продолжения её боковых сторон пересекаются под прямым углом. Найдите площадь трапеции.
   Решение: Продолжения боковых сторон пересекаются в точке \(E\). Треугольники \(EAD\) и \(EBC\) подобны с коэффициентом \(\frac{10}{6} = \frac{5}{3}\).
   Из подобия и условия перпендикулярности: \[ h = 2k, \quad S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{10 + 6}{2} \cdot 2 = 16 \]
   Ответ: 16.
   
   
5. Про число \(b\) и \(c\) известно, что \(3 \le bc < 5\) и \(7 < c \le 19\). Найдите все \(b\), для которых это возможно.
   Решение: Из неравенств: \[ \frac{3}{c} \le b < \frac{5}{c} \]
   Учитывая \(7 < c \le 19\): \[ \frac{3}{19} \le b < \frac{5}{7} \]
   Ответ: \(b \in \left[\frac{3}{19}; \frac{5}{7}\right)\).