СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2012 год вариант 2

1. Про приведённое квадратное уравнение известно, что один из его корней равен $3$, а модуль свободного члена в два раза меньше модуля второго коэффициента. Найти второй корень уравнения.
2. Упростить выражение \[ \frac{am^2 + 5mn^2}{2 + 5mn^2} \;-\; \frac{(2m + 3n)^2 + 18n^2 + 9mn}{2 + 9n^2}. \]
3. Около окружности радиуса $2$ описан прямоугольный треугольник. Радиус описанной окружности около этого треугольника равен $5$. Найти стороны треугольника.
4. Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количество этих металлов находится в соотношении $5:8$, а в другом — $7:19$. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить $84\text{ кг}$ нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении $13:29$?
5. При каких значениях параметра $a$ все корни уравнения \[ (x+3)^2 \;-\;\tfrac12\bigl|x+a\bigr|\;-\;1 \;=\; 0 \] отрицательны?

1. $x = -2$, $x = -6$.
2. $\displaystyle \frac{1}{m + 3n}$.
3. $6;\; 8\text{ и }10$.
4. $29\;\tfrac{1}{3}\text{ кг};\;54\;\tfrac{2}{3}\text{ кг}$.
5. $-16 < a < 16$.

Решения задач

1. Про приведённое квадратное уравнение известно, что один из его корней равен $3$, а модуль свободного члена в два раза меньше модуля второго коэффициента. Найти второй корень уравнения.
   Решение: Пусть уравнение имеет вид $x² + px + q = 0$. По теореме Виета: \[ \begin{cases} 3 + k = -p \\ 3k = q \\ |q| = \frac{1}{2}|p| \end{cases} \] Подставляя условия в уравнения, получаем модульные соотношения: \[ |3k| = \frac{1}{2}|3 + k| \] Рассматриваем два случая: 1) $3k = \frac{3 + k}{2} \implies 6k = 3 + k \implies k = \frac{3}{5}$. 2) $-3k \cdot 2 = 3 + k \implies 6k = -3 - k \implies k = -\frac{3}{7}$.
   Ответ: $\frac{3}{5}$ или $-\frac{3}{7}$.
2. Упростить выражение: \[ \frac{am^2 + 5mn^2}{2 + 5mn^2} - \frac{(2m + 3n)^2 + 18n^2 + 9mn}{2 + 9n^2}. \]
   Решение: Преобразуем числители: \[ (2m + 3n)^2 + 18n^2 + 9mn = 4m² + 21mn + 27n². \] Выражение принимает вид: \[ \frac{am² + 5mn²}{2 + 5mn²} - \frac{4m² + 21mn + 27n²}{2 + 9n²}. \] Упростить до конечной формы невозможно без дополнительных условий на параметр $a$.
   Ответ: Указанное выражение не упрощается без дополнительной информации о параметре $a$.
3. Около окружности радиуса $2$ описан прямоугольный треугольник. Радиус описанной окружности равен $5$. Найти стороны треугольника.
   Решение: Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности $R = \frac{c}{2} \implies c = 10$. Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \implies \frac{a + b - 10}{2} = 2 \implies a + b = 14. \] По теореме Пифагора: \[ a² + b² = 100. \] Система уравнений: \[ \begin{cases} a + b = 14 \\ a² + b² = 100 \end{cases} \implies ab = 48. \] Корни уравнения $x² -14x +48 =0$: $a = 6$, $b = 8$.
   Ответ: $6$, $8$, $10$.
4. Имеются два сплава золота и серебра. Первый сплав в соотношении $5:8$, второй — $7:19$. Сколько каждого сплава нужно взять для получения $84$ кг сплава с соотношением $13:29$?
   Решение: Пусть первого сплава взяли $x$ кг, второго — $y$ кг. Тогда: \[ x + y = 84. \] Количество золота в новом сплаве: \[ \frac{5x}{13} + \frac{7y}{26}. \] Отношение золота к серебру равно $\frac{13}{29}$. Решаем уравнение: \[ \frac{5x/13 + 7y/26}{8x/13 + 19y/26} = \frac{13}{29}. \] После преобразований получаем: \[ \begin{cases} x + y = 84 \\ 41x - 22y = 0 \end{cases} \implies x = \frac{88}{3} \approx 29.\overline{3}, \quad y = \frac{164}{3} \approx 54.\overline{6}. \] Ответ: $\frac{88}{3}$ кг и $\frac{164}{3}$ кг.
5. При каких $a$ все корни уравнения $(x+3)^2 - \frac{1}{2}|x+a| -1 = 0$ отрицательны?
   Решение: Рассматриваем два случая: Случай 1: $x + a \geq 0$. Уравнение: \[ 2x² + 11x + 16 - a = 0. \] Корни существуют при $a \geq \frac{7}{8}$ и должны быть меньше $0$ и $\geq -a$. Случай 2: $x + a < 0$. Уравнение: \[ 2x² + 13x + 16 + a = 0. \] Корни существуют при $a \leq \frac{41}{8}$ и должны быть меньше $-a$. Объединяя условия: \[ \frac{7}{8} \leq a < \frac{41}{8}. \] Ответ: $a \in \left[\dfrac{7}{8}, \dfrac{41}{8}\right)$.