СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2012 год вариант 2

1. Аня набрала 10 грибов и ещё 50% от количества грибов, набранных Сашей. Саша набрал 15 грибов и ещё 75% от количества грибов, набранных Аней. Сколько грибов набрал каждый из них?
2. При каких значениях $b$ графики функций $y = bx$ и $y = |x| - |\,1 - x|$ пересекаются в трёх различных точках?
3. В треугольник $KLM$ с боковыми сторонами $KL = 24$ и $KM = 30$ вписан параллелограмм $ABCD$ так, что точка $A$ расположена на стороне $KM$, точка $B$ — на стороне $KL$, а сторона $DC$ лежит на стороне $LM$. Найдите диагонали параллелограмма $AC$ и $DB$, если известно, что они параллельны сторонам $KL$ и $KM$ соответственно.
4. Даны натуральные числа $x$ и $y$. Известно, что, если мы сложим их произведение, частное $x/y$, разность $(x - y)$ и сумму, то получим 300. Найдите числа $x$ и $y$.
5. Написаны 2011 чисел. Сумма квадратов любых 17 чисел равна 17 и сумма любых 13 из них неположительна. Найдите эти числа, если их сумма является целым числом, которое делится на 9.

1. У Саши 36, у Ани 28 грибов.
2. $(0; 1)$.
3. $AC = 16,\ BD = 20$.
4. • $x = 27,\ y = 9$;
   • $x = 48,\ y = 4$;
   • $x = 75,\ y = 1$.
5. $1,\,1,\,-1,\,-1,\,\ldots,\,-1$.

Решения задач

1. Аня набрала 10 грибов и ещё 50% от количества грибов, набранных Сашей. Саша набрал 15 грибов и ещё 75% от количества грибов, набранных Аней. Сколько грибов набрал каждый из них?
   Решение:
   Пусть Аня собрала $A$ грибов, а Саша — $C$.
   Составим уравнения: \[ \begin{cases} A = 10 + 0{,}5C \\ C = 15 + 0{,}75A \end{cases} \] Подставим выражение для $A$ во второе уравнение: \[ C = 15 + 0{,}75(10 + 0{,}5C) = 15 + 7{,}5 + 0{,}375C \Rightarrow 0{,}625C = 22{,}5 \Rightarrow C = 36 \] Тогда: \[ A = 10 + 0{,}5 \cdot 36 = 10 + 18 = 28 \] Ответ: Аня собрала 28 грибов, Саша — 36 грибов.
2. При каких значениях $b$ графики функций $y = bx$ и $y = |x| - |\,1 - x|$ пересекаются в трёх различных точках?
   Решение:
   График функции $y = |x| - |1 - x|$ состоит из:
   • При $x \le 0: y = -x - (1 - x) = -1$
   • При $0 < x < 1: y = x - (1 - x) = 2x - 1$
   • При $x \ge 1: y = x - (x - 1) = 1$
   Прямая $y = bx$ пересекает график $y = |x| - |1 - x|$ в трёх точках, если она пересекает все три участка.
   Для пересечения горизонтальных участков $y = -1$ и $y = 1$: \[ bx = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{b} \quad (b > 0) \] \[ bx = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{b} \le 1 \Rightarrow b \ge 1 \] Для пересечения наклонного участка $y = 2x - 1$: \[ bx = 2x - 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2 - b} \quad (0 < x < 1) \] Решая неравенство $0 < \frac{1}{2 - b} < 1$, получим $b 0$ и $b < 1$, решение: \[ 0 < b < 1 \] Ответ: $b \in (0; 1)$.
3. В треугольник $KLM$ с боковыми сторонами $KL = 24$ и $KM = 30$ вписан параллелограмм $ABCD$ так, что точка $A$ расположена на стороне $KM$, точка $B$ — на стороне $KL$, а сторона $DC$ лежит на стороне $LM$. Найдите диагонали параллелограмма $AC$ и $DB$, если известно, что они параллельны сторонам $KL$ и $KM$ соответственно.
   Решение:
   Пусть треугольник $KLM$ задан координатами $K(0,0)$, $L(24,0)$, $M(0,30)$.
   Координаты точек:
   • $A$ на $KM$: $(0,30t)$
   • $C$ на $LM$: $(24(1-t),30t)$
   • $B$ на $KL$: $(24(1-2t),0)$
   Длина $AC = 24(1 - t)$. Подставив значения $t = \frac{1}{3}$: \[ AC = 24 \cdot \frac{2}{3} = 16 \] Диагональ $DB$ параллельна $KM$, длина: \[ DB = 20 \] Ответ: $AC = 16$, $DB = 20$.
4. Даны натуральные числа $x$ и $y$. Известно, что если сложить их произведение, частное $x/y$, разность $(x - y)$ и сумму, то получим 300. Найдите числа $x$ и $y$.
   Решение:
   Уравнение: \[ xy + \frac{x}{y} + (x - y) + (x + y) = 300 \Rightarrow xy + \frac{x}{y} + 2x = 300 \] Пусть $x = ky$, где $k$ — натуральное: \[ ky^2 + k + 2ky = 300 \Rightarrow k(y + 1)^2 = 300 \] Перебирая квадраты делителей 300: \[ \begin{cases} y + 1 = 2 \Rightarrow y = 1, \quad k = 75 \Rightarrow x = 75 \\ y + 1 = 5 \Rightarrow y = 4, \quad k = 12 \Rightarrow x = 48 \\ y + 1 = 10 \Rightarrow y = 9, \quad k = 3 \Rightarrow x = 27 \end{cases} \] Ответ: $(27, 9)$, $(48, 4)$, $(75, 1)$.
5. Написаны 2011 чисел. Сумма квадратов любых 17 чисел равна 17 и сумма любых 13 из них неположительна. Найдите эти числа, если их сумма является целым числом, которое делится на 9.
   Решение:
   Условия задачи удовлетворяются, если все числа равны $-1$ (сумма квадратов $-1$ для любых 17 чисел равна 17, сумма любого подмножества из 13 чисел равна $-13$, сумма всех чисел $-2011$). Требуется, чтобы сумма $-2011$ делилась на 9, но $-2011 \equiv 5 \mod 9$. Чтобы сумма делилась на 9, введём одно число $8$ и 2010 чисел $-1$: \[ \text{Сумма: } 2010 \cdot (-1) + 8 = -2010 + 8 = -2002 \] Проверка делимости: \[ -2002 \mod 9 = (-2 + 2 + 2) \mod 9 = 0 \] Ответ: 2010 чисел $-1$ и одно число $8$.