СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2012 год вариант 1

1. У Саши было 75 копеек и еще 75% от количества копеек, которое было у Ани. У Ани было 50 копеек и еще 50% от количества копеек, которое было у Саши. Сколько денег было у каждого из них?
2. При каких значениях $a$ графики функций $y = |x| - |x + 1|$ и $y = |ax|$ пересекаются в трех различных точках?
3. В треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = 6$ и $AC = 12$ вписан параллелограмм $DEFG$ так, что точка $D$ расположена на стороне $AC$, точка $E$ — на стороне $AB$, а сторона $GF$ лежит на стороне $BC$. Найдите диагонали параллелограмма $DF$ и $GE$, если известно, что они параллельны сторонам $AB$ и $AC$ соответственно.
4. Найти два натуральных числа $a$ и $b$, такие что, сложив их сумму, разность $(a - b)$, произведение и частное $\tfrac{a}{b}$, получим 450.
5. Написаны 2012 чисел. Сумма квадратов любых 15 из них равна 15 и сумма любых 11 из них неположительна. Найдите эти числа, если их сумма является целым числом, которое делится на 5.

1. У Саши 180, У Ани 140 копеек.
2. $(-1; 0)$.
3. $DF = 4,\ EG = 8$.
4. • $a = 28, b = 14$;
   • $a = 72, b = 4$;
   • $a = 100, b = 2$.
5. $1, -1, -1, \dots, -1$.

Решения задач

1. У Саши было 75 копеек и ещё 75% от количества копеек, которое было у Ани. У Ани было 50 копеек и ещё 50% от количества копеек, которое было у Саши. Сколько денег было у каждого из них?
   Решение: Обозначим количество копеек Саши как \( S \), а Ани — \( A \). По условию: \[ S = 75 + 0{,}75A \quad \text{и} \quad A = 50 + 0{,}5S \] Подставляя второе уравнение в первое: \[ S = 75 + 0{,}75(50 + 0{,}5S) \] \[ S = 75 + 37{,}5 + 0{,}375S \] \[ 0{,}625S = 112{,}5 \quad \Rightarrow \quad S = 180 \text{ коп.} \] Тогда \( A = 50 + 0{,}5 \cdot 180 = 140 \text{ коп.} \)
   Ответ: Саша — 180 коп., Аня — 140 коп.
   
   
2. При каких значениях \( a \) графики функций \( y = |x| - |x + 1| \) и \( y = |ax| \) пересекаются в трёх различных точках?
   Решение: Рассмотрим функцию \( y = |x| - |x + 1| \). Она имеет три участка:
   • \( x < -1 \): \( y = 1 \)
   • \( -1 \leq x < 0 \): \( y = -2x - 1 \)
   • \( x \geq 0 \): \( y = -1 \)
   График \( y = |ax| \) — прямая через начало координат. Три точки пересечения возможны, когда прямая:
   • Пересекает левый участок (\( y = 1 \)) при \( x = -\frac{1}{|a|} \) (\( |a| < 1 \)).
   • Пересекает средний участок (\( y = -2x - 1 \)) при \( x = -\frac{1}{|a| + 2} \).
   • Условие трёх точек: решение уравнения \( |ax| = -2x - 1 \) должно существовать при \( -1 < x < 0 \).
   Подставим \( x = -\frac{1}{a} \) и решим для \( a \neq 0 \). Ответ: \( a \in (-1, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1) \). Но учтём модуль: окончательно \( |a| > \frac{1}{2} \).
   Ответ: \( |a| > \frac{1}{2} \).
   
   
3. В треугольник \( ABC \) с боковыми сторонами \( AB = 6 \) и \( AC = 12 \) вписан параллелограмм \( DEFG \) так, что точка \( D \) расположена на стороне \( AC \), точка \( E \) — на стороне \( AB \), а сторона \( GF \) лежит на стороне \( BC \). Найдите диагонали параллелограмма \( DF \) и \( GE \), если известно, что они параллельны сторонам \( AB \) и \( AC \) соответственно.
   Решение: Треугольник \( ABC \). Параллелограмм DEFG:
   • Координаты точек: \( D(0, d) \), \( E(e, 0) \), \( F(\frac{12 - d}{2}, d) \) (на BC: \( y = -2x + 12 \)).
   • Условия параллельности: вектор DF горизонтален (параллелен AB).
   • Система уравнений для векторов параллелограмма: \[ \begin{cases} 2e + \frac{12 - d}{2} = e \\ -2e + 12 - d = d \end{cases} \] Решение: \( e = 2 \), \( d = 4 \). Диагонали: \[ DF = |x_F - x_D| = 4 \text{ см}, \quad GE = |y_G - y_E| = 8 \text{ см} \]
   Ответ: \( DF = 4 \), \( GE = 8 \).
   
   
4. Найти два натуральных числа \( a \) и \( b \), такие что, сложив их сумму, разность \( (a - b) \), произведение и частное \( \tfrac{a}{b} \), получим 450.
   Решение: Уравнение: \[ a + b + (a - b) + ab + \frac{a}{b} = 450 \] Пусть \( a = kb \), тогда: \[ 2kb + k b^2 + k = 450 \quad \Rightarrow \quad k(b + 1)^2 = 450 \] Натуральные решения: \( b = 2 \), \( k = 50 \) (\( a = 100 \)) и \( b = 4 \), \( k = 18 \) (\( a = 72 \)).
   Ответ: \( (100, 2) \) и \( (72, 4) \).
   
   
5. Написаны 2012 чисел. Сумма квадратов любых 15 из них равна 15 и сумма любых 11 из них неположительна. Найдите эти числа, если их сумма является целым числом, которое делится на 5.
   Решение:
   • Все числа равны \( \pm 1 \), так как сумма квадратов любых 15 чисел равна 15.
   • Количество единиц \( k \leq 5 \), иначе сумма некоторых 11 чисел будет положительной.
   • Сумма всех чисел: \( 2k - 2012 \) должна делиться на 5. Решение: \( k = 1 \). Тогда сумма всех чисел \( -2010 \).
   Ответ: 2011 чисел \( -1 \), одна единица.