СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2013 год вариант 2

1. (1) Сколькими нулями оканчивается число \[ 50! \;=\; 1 \times 2 \times \dots \times 49 \times 50\;? \]
2. (0.5) Найти все действительные числа \(x,y,z\), для которых справедливо равенство \[ 25x^2 + 16y^2 + 9z^2 + 10x + 8y + 6z + 3 = 0. \]
3. (1.5) Найти все действительные числа \(b\) и натуральные числа \(k\), для которых выполнено равенство \[ (1+b)(1+b^8) \;=\; \frac{b^k + b^{k-1} + \dots + b + 1}{(1+b^2)(1+b^4)}. \]
4. (0.5) Через сколько минут после того, как часы показывали ровно 16 часов 00 минут, минутная стрелка догонит часовую стрелку?
5. (1.5) В правильном треугольнике \(KLM\) со стороной 24 на стороне \(LM\) как на диаметре построена полуокружность, не имеющая общих точек с треугольником \(KLM\), кроме точек \(L\) и \(M\). Она разделена точками \(K_1\) и \(K_2\) на три равные дуги \(LK_1 = K_1K_2 = K_2M\). Найти длины отрезков, на которые делят сторону \(LM\) прямые \(KK_1\) и \(KK_2\).

1. 12.
2. $x = -\tfrac15,\; y = -\tfrac14,\; z = -\tfrac13.$
3. $k = 15,\; b\text{ — любое};\quad b = 0,\; k\text{ — любое};\quad b = -1,\; k\text{ — нечётно}.$
4. $\displaystyle \frac{240}{11} = 21\tfrac{9}{11}\text{ мин.}$
5. $8;\;8;\;8.$

Решения задач

1. Выполните действия: $(4,6 \cdot 3,5+15,32): 31,42+(7,26-5,78): 0,148 .$
   Решение: \[ \sqrt{(x-3)^{2}} + |x-2| = |x-3| + |x-2| \] При \(x = \sqrt{7}\) ( \(\sqrt{7} \approx 2.645\) ): \[ | \sqrt{7} - 3 | + | \sqrt{7} - 2 | = 3 - \sqrt{7} + \sqrt{7} - 2 = 1 \] Ответ: 1.
2. Найдите все действительные числа \(x, y, z\), удовлетворяющие уравнению: \[ 25x^2 + 16y^2 + 9z^2 + 10x + 8y + 6z + 3 = 0 \] Решение: \[ 25\left(x + \frac{1}{5}\right)^2 + 16\left(y + \frac{1}{4}\right)^2 + 9\left(z + \frac{1}{3}\right)^2 = 0 \] Все слагаемые неотрицательны, поэтому: \[ x = -\frac{1}{5},\quad y = -\frac{1}{4},\quad z = -\frac{1}{3} \] Ответ: \(\left(-\frac{1}{5}, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{3}\right)\).
   
   
3. Найдите все действительные \(b\) и натуральные \(k\), удовлетворяющие: \[ (1 + b)(1 + b^8) = \frac{b^k + \dots + 1}{(1 + b^2)(1 + b^4)} \] Решение:
   • Для \(b \neq 0, \pm1\) левая часть преобразуется в сумму степеней \(b\), что выполняется при \(k = 15\).
   • \(b = 0\): любое натуральное \(k\).
   • \(b = 1\): \(k = 15\).
   • \(b = -1\): \(k\) нечётное.
   Ответ: \(b = 0\) и любое \(k \in \mathbb{N}\); \(b = 1\) и \(k = 15\); \(b = -1\) и нечётное \(k\); для остальных \(b\): \(k = 15\).
   
   
4. Через сколько минут минутная стрелка догонит часовую после 16:00? Решение: \[ 6t = 120 + 0.5t \quad \Rightarrow \quad t = \frac{240}{11} \approx 21.82 \text{ минут} \] Ответ: \(\frac{240}{11}\) минут.
   
   
5. В правильном треугольнике \(KLM\) прямые \(KK_1\) и \(KK_2\) делят сторону \(LM\) на равные отрезки. Решение: Точки пересечения прямых с \(LM\) находятся в 8 и 16 см от вершины \(L\). Сторона \(LM\) делится на три отрезка по 8 см каждый. Ответ: 8 см, 8 см, 8 см.