СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2013 год вариант 1

1. (1) Сколькими нулями оканчивается число $49! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 49$?
2. (0.5) Найти все действительные числа $x,y,z$, для которых справедливо равенство \[ 4x^2 + 9y^2 + 16z^2 - 4x - 6y - 8z + 3 = 0. \]
3. (1.5) Найти все действительные числа $a$ и натуральные числа $n$, для которых выполнено равенство \[ \frac{a^n + a^{n-1} + \dots + a + 1}{(1 + a^2)\,(1 + a^8)} = (1 + a)\,(1 + a^4). \]
4. (0.5) Через сколько минут после того, как часы показывали ровно 9 часов 00 минут, минутная стрелка догонит часовую стрелку?
5. (1.5) В правильном треугольнике $ABC$ со стороной 12 на стороне $BC$ как на диаметре построена полуокружность, не имеющая общих точек с треугольником $ABC$, кроме точек $B$ и $C$. Она разделена точками $A_1$ и $A_2$ на три равные дуги $BA_1 = A_1A_2 = A_2C$. Найти длины отрезков, на которые делят сторону $BC$ прямые $AA_1$ и $AA_2$.

1. 10.
2. $x=\tfrac12,\;y=\tfrac13,\;z=\tfrac14.$
3. $n=15,\;a\text{ – любое;} \quad a=0,\;n\text{ – любое;} \quad a=-1,\;n\text{ – нечётно.}$
4. $\displaystyle \frac{540}{11}=49\dfrac{1}{11}\text{ минут.}$
5. $4;\;4;\;4.$

Решения задач

1. Сколькими нулями оканчивается число $49! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 49$?
   Решение: Количество нулей определяется количеством пар (2,5) в разложении факториала. Число пятерок меньше, их количество найдем так:
   $\left\lfloor \frac{49}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{49}{25} \right\rfloor = 9 + 1 = 10$.
   Ответ: 10.
2. Найти все действительные числа $x,y,z$, для которых справедливо равенство \[ 4x^2 + 9y^2 + 16z^2 - 4x - 6y - 8z + 3 = 0. \]
   Решение: Преобразуем выражение, выделив полные квадраты:
   $4(x - 0,5)^2 + 9(y - \frac{1}{3})^2 + 16(z - 0,25)^2 = 0$.
   Сумма квадратов равна нулю только при:
   $x = 0,5$, $y = \frac{1}{3}$, $z = 0,25$.
   Ответ: $x = 0{,}5$, $y = \frac{1}{3}$, $z = 0{,}25$.
3. Найти все действительные числа $a$ и натуральные числа $n$, для которых выполнено равенство \[ \frac{a^n + a^{n-1} + \dots + a + 1}{(1 + a^2)(1 + a^8)} = (1 + a)(1 + a^4). \]
   Решение: Числитель левой части — сумма геометрической прогрессии:
   $\frac{a^{n+1} - 1}{(a - 1)}\cdot \frac{1}{(1 + a^2)(1 + a^8)}$.
   Правая часть: $(1 + a)(1 + a^4) = 1 + a + a^4 + a^5$.
   Упростим уравнение:
   $\frac{a^{n+1} - 1}{a - 1} = (1 + a)(1 + a^4)(1 + a^2)(1 + a^8)$.
   Правая часть после раскрытия дает сумму всех степеней $a$ от 0 до 15, что соответствует $n = 15$.
   Ответ: $a \in \mathbb{R}$, $n = 15$.
4. Через сколько минут минутная стрелка догонит часовую стрелку после 9:00?
   Решение: Пусть $t$ — время в минутах. Углы стрелок:
   Минутная: $6t$ градусов, Часовая: $270 + 0{,}5t$ градусов.
   Уравнение: $6t = 270 + 0{,}5t \Rightarrow t = \frac{540}{11} = 49\frac{1}{11}$.
   Ответ: Через $49\frac{1}{11}$ минут.
5. В правильном треугольнике $ABC$ со стороной 12 на стороне $BC$ построена полуокружность. Дуги разделены точками $A_1$ и $A_2$ на три равные части. Найти длины отрезков стороны $BC$.
   Решение: Координаты точек A1(3, $-3\sqrt{3}$) и A2(9, $-3\sqrt{3}$). Уравнения прямых $AA_1$ и $AA_2$ пересекают $BC$ в точках $x=8$ и $x=4$. Сторона $BC$ делится на отрезки:
   $B$ до 4 — 4 см, 4 до 8 — 4 см, 8 до $C$ — 4 см.
   Ответ: 4 см и 8 см.