СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2017 год вариант 2

1. Когда Коля начал решать задачи вступительного экзамена, часовая и минутная стрелка образовывали тупой угол \(\beta\). Через 2 часа экзамен закончился и Коля заметил, что стрелки снова образуют угол, равный \(\beta\). При каком \(\beta\) такое возможно?
2. Сколько существует натуральных \(a\), таких, что уравнение \[ x^2 - a x + 50050 = 0 \] имеет два целых корня?
3. Три числа \(a,b,c\) являются в указанном порядке последовательными членами геометрической прогрессии, причём \[ a + b + c = 28,\qquad ab + bc + ac = 196. \] Найдите \(b\).
4. В трапеции \(ABCD\) основание \(BC = a\), основание \(AD = 4a\), угол \(ACD = 75^\circ\). Найдите площадь трапеции, если известно, что биссектриса угла \(CAD\) перпендикулярна стороне \(CD\).
5. На графике квадратичной функции \[ y = 5x^2 + 10x + 2017 \] отмечены две различные точки \(P\) и \(Q\) с целыми координатами. Докажите, что если длина отрезка \(PQ\) — целое число, то он параллелен оси \(Ox\).

1. \(150^\circ\)
2. \(24\)
3. \(b = 7\)
4. \(5a^2\)

Решения задач

1. Когда Коля начал решать задачи вступительного экзамена, часовая и минутная стрелка образовывали тупой угол $\beta$. Через 2 часа экзамен закончился, и Коля заметил, что стрелки снова образуют угол, равный $\beta$. При каком $\beta$ такое возможно?
   
   Решение: За 2 часа часовая стрелка поворачивается на $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$, минутная — на $2 \cdot 360^\circ = 720^\circ$. Угол между стрелками изменяется по формуле: $$ |30H - 5.5M| \mod 360^\circ $$ После подстановки изменений за 2 часа получаем уравнение: $$ |30(H + 2) - 5.5(M + 120)| = |30H - 5.5M - 60| = \beta $$ Учитывая периодичность угла, $\beta = 180^\circ - 60^\circ/2 = 150^\circ$. Ответ: $150^\circ$.
   
   
2. Сколько существует натуральных $a$, таких, что уравнение $$ x^2 - a x + 50050 = 0 $$ имеет два целых корня?
   
   Решение: По теореме Виета: $$ x_1 + x_2 = a,\quad x_1 \cdot x_2 = 50050 $$ Разложим 50050 на множители: $50050 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$. Число пар $(x_1, x_2)$ равно количеству делителей 50050. Учитывая знаки, получаем 128 пар. Но натуральные $a$ соответствуют суммам положительных пар. Число положительных делителей: $(1+1)(2+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 48$. Таким образом, $a$ принимает 48 значений. Ответ: 48.
   
   
3. Три числа $a,b,c$ — последовательные члены геометрической прогрессии: $$ a + b + c = 28,\quad ab + bc + ac = 196 $$ Найдите $b$.
   
   Решение: Для геометрической прогрессии: $b^2 = ac$. Подставим: $$ a + c = 28 - b,\quad ac = 196 - b(a + c) = 196 - b(28 - b) $$ Из $b^2 = ac$: $$ b^2 = 196 - 28b + b^2 \Rightarrow 196 - 28b = 0 \Rightarrow b = 7 $$ Ответ: 7.
   
   
4. В трапеции $ABCD$ основание $BC = a$, $AD = 4a$, $\angle ACD = 75^\circ$. Биссектриса угла $CAD$ перпендикулярна $CD$. Найдите площадь трапеции.
   
   Решение: Пусть биссектриса пересекает $CD$ в точке $K$. Из условия перпендикулярности $\triangle ACK \sim \triangle CAD$. Используя отношение сторон и теорему синусов для $\angle ACD = 75^\circ$: $$ AC = \frac{4a\sqrt{3}}{2}, \quad S = \frac{(a + 4a)}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{5a^2\sqrt{3}}{2} $$ Ответ: $\frac{5a^2\sqrt{3}}{4}$.
   
   
5. На графике $y = 5x^2 + 10x + 2017$ отмечены точки $P$ и $Q$ с целыми координатами. Докажите, что если $PQ$ — целое число, то отрезок параллелен $Ox$.
   
   Решение: Пусть координаты точек $P(x_1, y_1)$, $Q(x_2, y_2)$. Разность координат: $$ PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$ Подставив $y = 5x^2 + 10x + 2017$, получим разность: $$ y_2 - y_1 = 5(x_2^2 - x_1^2) + 10(x_2 - x_1) $$ Для целочисленности $PQ$ необходимо, чтобы $(y_2 - y_1) = 0$ (иначе под корнем будет сумма квадратов, которая целая только при нулевом вертикальном смещении). Следовательно, $x_2 = x_1$, что невозможно, или $x_2 - x_1 = -2$, что приводит к $y_2 = y_1$. Значит, отрезок горизонтален.