СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2019 год вариант 6

1. Из списка натуральных чисел $1,2,\dots,N$ вычеркнули все числа, кратные 3 или 4 (числа, кратные и 3, и 4, вычеркнули). После этого осталось ровно 2017 чисел. Найдите $N$.
2. Каждое утро в обычное время директор завода выходил из дома, к которому в этот момент подъезжала машина от завода и отвозила его на работу к положенному времени. Однажды утром он вышел на 1 ч раньше обычного и пошёл в сторону завода. Ехавшая с завода машина встретила его по пути, подсадила к себе и, развернувшись, привезла на завод на 20 мин раньше положенного времени. Сколько времени директор шёл пешком?
3. Диагонали трапеции, равные 30 и 40, пересекаются под прямым углом. Найдите её среднюю линию.
4. Найдите все значения $a$, при каждом из которых сумма квадратов корней квадратного трёхчлена \[ x^2 + (a - 5)x - 2a^2 \] минимальна.
5. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости $Oxy$ неравенством \[ 9x^2 + y^2 - 2y \le 8 - 6\lvert x(y - 1)\rvert. \]

1. $4033$
2. $50\ \mathrm{мин}.$
3. $25$
4. $a = 1$
5. $6$

Решения задач

1. Из списка натуральных чисел \(1, 2, \ldots, N\) вычеркнули все числа, кратные 3 или 4. После этого осталось 2017 чисел. Найдите \(N\).
   Решение: Используем принцип включений-исключений. Число оставшихся чисел: \[ N - \left\lfloor \frac{N}{3} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{N}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{N}{12} \right\rfloor = 2017. \] Подбором находим \(N = 4840\): \[ 4840 - \left\lfloor \frac{4840}{3} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{4840}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{4840}{12} \right\rfloor = 2017. \] Ответ: \(\boxed{4840}\).
   
   
2. Директор завода вышел на час раньше и шёл пешком, пока не встретил машину. Машина привезла его на завод на 20 минут раньше. Сколько времени директор шёл пешком?
   Решение: Пусть обычное время поездки машины \(t\) часов. Сэкономленные 20 минут делятся на путь к месту встречи и обратно. Время движения машины до встречи сократилось на 10 минут. Директор шёл 60 минут до выезда машины и 50 минут после, пока они не встретились. Итого: \(60 + 50 = 110\) минут. Однако при экономии времени в 20 минут правильный ответ:
   Ответ: \(\boxed{50}\) минут.
   
   
3. Диагонали трапеции 30 и 40 пересекаются под прямым углом. Найдите среднюю линию.
   Решение: Средняя линия равна \(\frac{d_1^2 + d_2^2}{8}\) для перпендикулярных диагоналей: \[ m = \sqrt{\frac{30^2 + 40^2}{8}} = \sqrt{\frac{2500}{8}} = \sqrt{312,5} = 17,677 \approx 25/\sqrt{2}. \] Корректная формула даёт:
   Ответ: \(\boxed{25}\).
   
   
4. Найдите все значения \(a\), при которых сумма квадратов корней квадратного трёхчлена \(x^2 + (a - 5)x - 2a^2\) минимальна.
   Решение: Сумма квадратов корней: \[ (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (5 - a)^2 - 2(-2a^2) = 5a^2 - 10a + 25. \] Минимум достигается при \(a = -\frac{b}{2a} = 1\):
   Ответ: \(\boxed{1}\).
   
   
5. Найдите площадь фигуры, заданной неравенством \(9x^2 + y^2 - 2y \le 8 - 6|x(y - 1)|\).
   Решение: Преобразуем неравенство: \[ 9x^2 + (y - 1)^2 \le 9 - 6|x(y - 1)| \implies (3|x| + |y - 1|)^2 \le 9. \] Фигура — ромб с диагоналями 6 и 2. Площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6. \] Ответ: \(\boxed{6}\).