СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2019 год вариант 5

1. Из списка натуральных чисел $1,2,\dots,N$ вычеркнули все числа, кратные 3 или 5 (числа, кратные и 3, и 5, вычеркнули). После этого осталось ровно 2020 чисел. Найдите $N$.
2. Каждое утро в обычное время директор завода выходил из дома, к которому в этот момент подъезжала машина от завода и отвозила его на работу к положенному времени. Однажды утром он вышел на 1 ч раньше обычного и пошёл в сторону завода. Ехавшая с завода машина встретила его по пути, подсадила к себе и, развернувшись, привезла на завод на 30 мин раньше положенного времени. Сколько времени директор шёл пешком?
3. Диагонали трапеции, равные 12 и 16, пересекаются под прямым углом. Найдите её среднюю линию.
4. Найдите все значения $a$, при каждом из которых сумма квадратов корней квадратного трёхчлена \[ x^2 + (a+3)x - a^2 \] минимальна.
5. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости $Oxy$ неравенством \[ 4x^2 + y^2 + 2y \le 3 - 4\lvert x(y+1)\rvert. \]

1. $3787$
2. $45$ мин.
3. $10$
4. $a = -1$
5. $4$

Решения задач

1. Задача 1: Формула для количества чисел, не кратных 3 или 5: \[ N - \left\lfloor \frac{N}{3} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{N}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{N}{15} \right\rfloor = 2020 \] Подбором находим \( N = 3787 \): \[ 3787 - 1262 - 757 + 252 = 2020 \] Ответ: 3787.
2. Задача 2: Директор вышел на 1 час раньше и шёл до встречи с машиной. Пусть время ходьбы — \( t \). Сокращение времени за счёт движения машины: \[ 2 \cdot (\text{расстояние сэкономленного пути}) = 30 \text{ мин} \implies t = 45 \text{ мин} \] Ответ: 45 минут.
3. Задача 3: Диагонали трапеции \( AC = 12 \), \( BD = 16 \), пересекаются под прямым углом. Средняя линия: \[ m = \frac{\sqrt{AC^2 + BD^2}}{4} = \frac{\sqrt{12^2 + 16^2}}{4} = 10 \] Ответ: 10.
4. Задача 4: Квадратный трёхчлен \( x^2 + (a+3)x - a^2 \). Сумма квадратов корней: \[ S = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-a-3)^2 - 2(-a^2) = 3a^2 + 6a + 9 \] Минимум при \( a = -1 \): \[ S_{\text{min}} = 3(-1)^2 + 6(-1) + 9 = 6 \] Ответ: \( a = -1 \).
5. Задача 5: Неравенство: \[ 4x^2 + y^2 + 2y \le 3 - 4|x(y + 1)| \] Подстановка \( z = y + 1 \): \[ 4x^2 + (z - 1)^2 - 1 \le 3 - 4|xz| \implies 4x^2 + z^2 - 2z \le 4|xz| + 2 \] Анализ приводит к эллипсу с полуосями \( \sqrt{2} \) и окружности радиус \( \sqrt{3} \). Площадь: \[ S = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi \] Ответ: \( 3\pi \).