СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2019 год вариант 4

1. Каждое утро в обычное время школьник выходил из дома, где его ждала машина, которая отвозила его в школу к положенному времени. Однажды утром он вышел на 1~ч раньше обычного и побежал в противоположном от школы направлении. Машина в обычное время отправилась за ним, догнала его и привезла в школу, но на 24~мин позже положенного времени. Сколько времени бежал школьник?
2. Из списка натуральных чисел \(1,2,\dots,N\) вычеркнули все числа, не делящиеся ни на 3, ни на 5. После этого осталось ровно 2018 чисел. Найдите \(N\).
3. В трапеции с боковыми сторонами, равными 30 и 40, сумма углов при одном из оснований равна \(90^\circ\). Каково расстояние между серединами её оснований?
4. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых наибольшее значение выражения \[ (x + a)(6 - x) \] больше 9.
5. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости \(Oxy\) неравенством \[ \sqrt{4 - x(4 - x)} \;\le\; 4 - \lvert 1 - y\rvert. \]

1. 1 ч.~12 мин.
2. 4325
3. 25
4. $(-\infty,-12)\cup(0,+\infty)$
5. 32

Решения задач

1. Каждое утро в обычное время школьник выходил из дома, где его ждала машина, которая отвозила его в школу к положенному времени. Однажды утром он вышел на 1~ч раньше обычного и побежал в противоположном от школы направлении. Машина в обычное время отправилась за ним, догнала его и привезла в школу, но на 24~мин позже положенного времени. Сколько времени бежал школьник?
   Решение: Обозначим скорость школьника \(v\), скорость машины \(6v\) (из соотношения \(V = 6v\), полученного в решении). Школьник бежал \(72\) минуты (\(\text{1 час 12 минут}\)) до момента, когда его догнали.
   Ответ: 72 минуты.
2. Из списка натуральных чисел \(1,2,\dots,N\) вычеркнули все числа, не делящиеся ни на 3, ни на 5. После этого осталось ровно 2018 чисел. Найдите \(N\).
   Решение: Число оставшихся чисел равно количеству чисел, делящихся на 3 или 5: \[ \left\lfloor\frac{N}{3}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{N}{5}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{N}{15}\right\rfloor = 2018 \] Подбор значений (аппроксимация и учёт целых частей) приводит к \(N = 4325\).
   Ответ: 4325.
3. В трапеции с боковыми сторонами, равными 30 и 40, сумма углов при одном из оснований равна \(90^\circ\). Каково расстояние между серединами её оснований?
   Решение: Сумма углов \(90^\circ\) позволяет выразить высоту через боковые стороны. Горизонтальное смещение между серединами оснований \(-7\), высота \(24\). Расстояние между серединами: \[ \sqrt{(-7)^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = 25 \]
   Ответ: 25.
4. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых наибольшее значение выражения \[ (x + a)(6 - x) \] больше 9.
   Решение: Максимум квадратичной функции равен \(\frac{(6 - a)^2}{4} + 6a\). Условие: \[ \frac{(6 - a)^2}{4} + 6a > 9 \quad \Rightarrow \quad a(a + 12) > 0 \] Решение неравенства: \(a \in (-\infty; -12) \cup (0; +\infty)\).
   Ответ: \(a \in (-\infty; -12) \cup (0; +\infty)\).
5. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости \(Oxy\) неравенством \[ \sqrt{4 - x(4 - x)} \;\le\; 4 - \lvert 1 - y\rvert. \]
   Решение: Упростив неравенство, получаем: \[ |x - 2| + |y - 1| \le 4 \] Это ромб с вершинами в точках \((6,1)\), \((-2,1)\), \((2,5)\), \((2,-3)\). Диагонали ромба равны 8, площадь: \[ \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32 \]
   Ответ: 32.