СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2019 вариант 3

1. Каждое утро в обычное время школьник выходил из дома, где его ждала машина, которая отвозила его в школу к положенному времени. Однажды утром он вышел на 1~ч раньше обычного и побежал в противоположном от школы направлении. Машина в обычное время отправилась за ним, догнала его и привезла в школу, но на 20~мин позже положенного времени. Сколько времени бежал школьник?
2. Из списка натуральных чисел $1,2,\dots,N$ вычеркнули все числа, не делящиеся ни на 2, ни на 7. После этого осталось ровно 2019 чисел. Найдите $N$.
3. В трапеции с боковыми сторонами, равными 12 и 16, сумма углов при одном из оснований равна $90^\circ$. Каково расстояние между серединами её оснований?
4. Найдите все значения $a$, при каждом из которых наибольшее значение выражения \[ (a - x)(x + 4) \] больше 4.
5. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости $Oxy$ неравенством \[ \sqrt{1 - x(2 - x)} \;\le\; 3 - \lvert 2 - y\rvert. \]

1. 1 ч.~10 мин.
2. 3534
3. 10
4. $(-\infty,-8)\cup(0,+\infty)$
5. 18

Решения задач

1. Каждое утро в обычное время школьник выходил из дома, где его ждала машина, которая отвозила его в школу к положенному времени. Однажды утром он вышел на 1~ч раньше обычного и побежал в противоположном от школы направлении. Машина в обычное время отправилась за ним, догнала его и привезла в школу, но на 20~мин позже положенного времени. Сколько времени бежал школьник?
   Решение: Пусть скорость школьника $u$, машины $7u$ (отношение скоростей $\frac{1}{7}$). Школьник вышел на 60 мин раньше. За это время он удалился на $60u$. Машина начала движение и догнала его за $\frac{60u}{7u - u} = 10$ мин. Время бега школьника: $60 + 10 = 70$ мин.
   Ответ: 70 минут.
   
   
2. Из списка натуральных чисел $1, 2,\ldots,N$ вычеркнули все числа, не делящиеся ни на 2, ни на 7. После этого осталось ровно 2019 чисел. Найдите $N$.
   Решение: Количество оставшихся чисел: $\lfloor\frac{N}{2}\rfloor + \lfloor\frac{N}{7}\rfloor - \lfloor\frac{N}{14}\rfloor = 2019$. Определим $N = 3534$:
   $\frac{3534}{2} = 1767$, $\frac{3534}{7} = 504$, $\frac{3534}{14} = 252$.
   Проверка: $1767 + 504 - 252 = 2019$.
   Ответ: 3534.
   
   
3. В трапеции с боковыми сторонами, равными 12 и 16, сумма углов при одном из оснований равна $90^\circ$. Каково расстояние между серединами её оснований?
   Решение: Проекции боковых сторон: $x = 7.2$, $y = 12.8$. Высота $h = 9.6$. Длина между серединами оснований: $\sqrt{\left(\frac{x - y}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{(-2.8)^2 + 9.6^2} = 10$.
   Ответ: 10.
   
   
4. Найдите все значения $a$, при каждом из которых наибольшее значение выражения \[(a - x)(x + 4)\] больше 4.
   Решение: Максимум квадратичной функции $f(x) = -x^2 + (a - 4)x + 4a$ равен $\frac{(a - 4)^2}{4} + 4a$. Решим неравенство:
   $\frac{(a - 4)^2}{4} + 4a > 4 \quad \Rightarrow \quad a(a + 8) > 0 \quad \Rightarrow \quad a \in (-\infty; -8) \cup (0; +\infty)$.
   Ответ: $a \in (-\infty; -8) \cup (0; +\infty)$.
   
   
5. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости $Oxy$ неравенством \[\sqrt{1 - x(2 - x)} \;\le\; 3 - \lvert 2 - y\rvert.\]
   Решение: Преобразуем в ромб с центром $(1, 2)$ и диагоналями 6. Площадь:
   $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{6 \cdot 6}{2} = 18$.
   Ответ: 18.