СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2016 год вариант 2
Печать
youit.school ©
Физико–математическое отделение. Москва – 5 июня 2016.
Письменная работа по математике для поступающих в 10 класс
Вариант 2
Письменная работа по математике для поступающих в 10 класс
Вариант 2
- К числителю дроби \(\tfrac{8}{15}\) прибавлено число 56. Какое натуральное число нужно прибавить к знаменателю, чтобы полученная дробь была на 300% больше первоначальной?
- Решить уравнение \[ |\,|x| - 2| + |\,|x| + 7| = 9. \]
- Сколько существует различных арифметических прогрессий, состоящих из трёх членов, все члены которых являются целыми числами и принадлежат отрезку \([3019;3024]\)?
- В трапеции с основаниями \(AB\) и \(CD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются под углом \(60^\circ\). Найти длину средней линии этой трапеции, если \(AC = 7\), \(BD = 8\).
- Сравнить числа \[ a = 3019^{3017}3017^{3019} \quad\text{и}\quad b = 3018^{6036}. \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
-
Условие: К числителю дроби \(\tfrac{8}{15}\) прибавлено 56. Какое натуральное число нужно прибавить к знаменателю, чтобы полученная дробь была на 300% больше первоначальной?
Решение:
Увеличение на 300% означает умножение исходной дроби на 4: \[ \frac{32}{15} = \frac{8 + 56}{15 + x} \implies \frac{64}{x + 15} = \frac{32}{15}. \] Решая уравнение: \[ 64 \cdot 15 = 32(x + 15) \implies 960 = 32x + 480 \implies 32x = 480 \implies x = 15. \] Ответ: 15.
-
Условие: Решить уравнение \( |\,|x| - 2| + |\,|x| + 7| = 9 \).
Решение:
Введем замену \( t = |x| \geq 0 \). Уравнение примет вид: \[ |t - 2| + |t + 7| = 9. \] Рассмотрим три случая:- \( t \geq 2 \): \( (t - 2) + (t + 7) = 9 \implies 2t + 5 = 9 \implies t = 2 \).
- \( 0 \leq t < 2 \): \( (2 - t) + (t + 7) = 9 \implies 9 = 9 \implies \) верно для всех \( t \in [0; 2) \).
-
Условие: Сколько существует различных арифметических прогрессий из трёх членов, принадлежащих \([3019;3024]\)?
Решение:
Возможные разности \( d \):- \( d = 0 \): 6 прогрессий (все одинаковые числа).
- \( d = 1 \) и \( d = -1 \): по 4 прогрессии.
- \( d = 2 \) и \( d = -2 \): по 2 прогрессии.
Ответ: 18.
-
Условие: Найти длину средней линии трапеции с диагоналями \( AC = 7 \), \( BD = 8 \), пересекающимися под углом \(60^\circ\).
Решение:
Средняя линия \( m = \frac{AB + CD}{2} \). Из теоремы косинусов для треугольников, образованных диагоналями: \[ AB = \sqrt{\frac{57a^2}{(a + b)^2}} = a \implies (a + b)^2 = 57 \implies m = \frac{\sqrt{57}}{2}. \] Ответ: \(\frac{\sqrt{57}}{2}\).
-
Условие: Сравнить \( a = 3019^{3017} \cdot 3017^{3019} \) и \( b = 3018^{6036} \).
Решение:
Логарифмируем и сравниваем: \[ \ln a = 3017\ln3019 + 3019\ln3017, \quad \ln b = 6036\ln3018. \] Разность: \[ \Delta = 3017\left(\ln3019 - \ln3018\right) + 3019\left(\ln3017 - \ln3018\right) \approx -\frac{3}{3018} < 0. \] Следовательно, \( a < b \).
Ответ: \( a < b \).
Материалы школы Юайти