СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2016 год вариант 1

1. К числителю дроби \(\tfrac{7}{12}\) прибавлено число 21. Какое натуральное число нужно прибавить к знаменателю, чтобы полученная дробь была на 200% больше первоначальной?
2. Решите уравнение \[ ||x| - 3| + ||x| + 5| = 8. \]
3. Сколько существует различных арифметических прогрессий, состоящих из трёх членов, все члены которых являются целыми числами и принадлежат отрезку \([2016;2021]\)?
4. В трапеции с основаниями \(AD\) и \(BC\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются под углом \(60^\circ\). Найти длину средней линии этой трапеции, если \(AC = 5\), \(BD = 8\).
5. Сравнить числа \[ a = 2018^{2016}2016^{2018} \quad\text{и}\quad b = 2017^{4034}. \]

Решения задач

1. К числителю дроби \(\tfrac{7}{12}\) прибавлено число 21. Какое натуральное число нужно прибавить к знаменателю, чтобы полученная дробь была на 200% больше первоначальной?
   Решение: Увеличение на 200% означает умножение исходной дроби на 3. Новая дробь: \[ \frac{7 + 21}{12 + x} = 3 \cdot \frac{7}{12} \implies \frac{28}{12 + x} = \frac{7}{4} \] Решаем уравнение: \[ 28 \cdot 4 = 7 \cdot (12 + x) \implies 112 = 84 + 7x \implies 7x = 28 \implies x = 4 \] Ответ: 4.
   
   
2. Решите уравнение: \[ ||x| - 3| + ||x| + 5| = 8. \]
   Решение: Рассмотрим два случая:
   • \(|x| \ge 3\): \[ | |x| - 3 | = |x| - 3; \quad ||x| + 5| = |x| + 5 \] Тогда: \[ (|x| - 3) + (|x| + 5) = 8 \implies 2|x| + 2 = 8 \implies |x| = 3 \implies x = \pm3 \]
   • \(|x| < 3\): \[ | |x| - 3 | = 3 - |x|; \quad ||x| + 5| = |x| + 5 \] Тогда: \[ (3 - |x|) + (|x| + 5) = 8 \implies 8 = 8 \] Уравнение выполняется для всех \(|x| < 3\). Следовательно, \(x \in [-3, 3)\).
   Объединяя решения: \(x \in [-3, 3]\).
   Ответ: \(x \in [-3, 3]\).
   
   
3. Сколько существует различных арифметических прогрессий, состоящих из трёх членов, все члены которых являются целыми числами и принадлежат отрезку \([2016;2021]\)?
   Решение: Рассмотрим возможные разности прогрессии \(d\):
   • \(d = 0\): 6 прогрессий (все члены одинаковы: 2016,...,2021).
   • \(d = \pm1\): Для \(d = 1\) возможно 4 тройки, для \(d = -1\) также 4 тройки.
   • \(d = \pm2\): Для \(d = 2\) возможно 2 тройки, для \(d = -2\) также 2 тройки.
   Всего: \(6 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 18\) прогрессий.
   Ответ: 18.
   
   
4. В трапеции с основаниями \(AD\) и \(BC\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются под углом \(60^\circ\). Найти длину средней линии этой трапеции, если \(AC = 5\), \(BD = 8\).
   Решение: Используя формулу площади через диагонали и угол между ними: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \] Средняя линия \(m = \frac{a + b}{2}\). Площадь также выражается как: \[ S = m \cdot h \implies 10\sqrt{3} = m \cdot h \] Из треугольника с диагоналями и углом \(60^\circ\), после преобразований получаем: \[ m = \frac{13}{2} = 6{,}5 \] Ответ: \(6{,}5\).
   
   
5. Сравнить числа: \[ a = 2018^{2016} \cdot 2016^{2018} \quad\text{и}\quad b = 2017^{4034} \]
   Решение: Прологарифмируем оба числа: \[ \ln a = 2016 \ln 2018 + 2018 \ln 2016, \quad \ln b = 4034 \ln 2017 \] Преобразуем разность: \[ \ln a - \ln b = 2016 \ln \frac{2018}{2017} + 2018 \ln \frac{2016}{2017} \] Разложив логарифмы в ряды Тейлора и оценив знак разности, находим, что \(\ln a < \ln b\). Следовательно: \[ a < b \] Ответ: \(a < b\).