СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2015 год вариант 2

1. Пусть \(N\) – наименьшее из натуральных чисел, обладающих следующим свойством: \(21N\) является квадратом некоторого натурального числа, а \(15N\) – кубом. Найдите \(N\).
2. Найдите наименьшее значение выражения \(x - y\) при условии, что \[ x^2 - 2xy + y^2 - 2x + 2y \le 0. \]
3. По круглому стадиону в одном направлении бегут три бегуна. Первый обгоняет второго каждые 30 минут, второй обгоняет третьего каждые 20 минут. Если бы каждый бегун пробегал бы весь стадион на 1 минуту быстрее, то первый обгонял бы третьего каждые \(10/6\) минут. За какое время каждый бегун пробегает стадион?
4. В треугольнике \(ABC\) \(AB = 6\), \(AC = 9\). Биссектриса угла \(A\) и высота, проведенная из вершины \(B\), пересекаются в точке \(O\), причем \(S_{AOB} = S_{BOC}\). Найдите радиус вписанной в треугольник \(ABC\) окружности.
5. Сколько существует прямоугольников с координатами вершин \((4,3)\), \((-4,-3)\), \((x,y)\), \((z,t)\), таких, что \(x,y,z,t\) — целые числа, модуль которых не превосходит 2015?

Решения задач

1. Наименьшее натуральное число \(N\), такое что \(21N\) — квадрат, а \(15N\) — куб.
   Решение: Разложим числа на простые множители: \[ 21 = 3^1 \cdot 7^1, \quad 15 = 3^1 \cdot 5^1 \] Чтобы \(21N\) было квадратом, степени всех простых множителей в \(N\) должны быть нечётными для 3 и 7, и дополнять до чётных. Чтобы \(15N\) было кубом, степени 3 и 5 в \(N\) должны быть вида \(3k+2\) для 3 и вида \(3k+2\) для 5: \[ N = 3^{5} \cdot 5^{2} \cdot 7^{3} \] Проверим: \[ 21N = 3^{6} \cdot 5^{2} \cdot 7^{4} \quad (\text{квадрат}), \] \[ 15N = 3^{6} \cdot 5^{3} \cdot 7^{3} \quad (\text{куб}). \] Наименьшее \(N\): \(3^5 \cdot 5^2 \cdot 7^3 = 3572100\).
   Ответ: \(3572100\).
   
   
2. Наименьшее значение \(x - y\) при условии \(x^2 - 2xy + y^2 - 2x + 2y \le 0\).
   Решение: Преобразуем выражение: \[ (x - y)^2 - 2(x - y) \le 0 \quad \Rightarrow \quad (x - y)(x - y - 2) \le 0 \] Решая неравенство: \[ 0 \le x - y \le 2 \] Минимальное значение \(x - y = 0\). Проверим при \(x = y\): \[ 0 - 0 \le 0 \quad \Rightarrow \quad 0 \le 0 \] Условие выполняется.
   Ответ: \(0\).
   
   
3. Время пробега стадиона каждым бегуном.
   Решение: Пусть скорости бегунов \(v_1, v_2, v_3\) (круги/мин). Условия обгонов: \[ \frac{1}{v_1 - v_2} = 30 \quad \text{(первый обгоняет второго)}, \] \[ \frac{1}{v_2 - v_3} = 20 \quad \text{(второй обгоняет третьего)}. \] После ускорения на 1 мин/круг скорости станут \(\frac{1}{T_1 - 1}, \frac{1}{T_2 - 1}, \frac{1}{T_3 - 1}\). Уравнение для нового обгона: \[ \frac{1}{\frac{1}{T_1 - 1} - \frac{1}{T_3 - 1}} = \frac{10}{6} \] Решая систему уравнений, получим: \[ T_1 = 5 \, \text{мин}, \quad T_2 = 6 \, \text{мин}, \quad T_3 = 10 \, \text{мин}. \] Ответ: \(5\), \(6\), \(10\) минут.
   
   
4. Радиус вписанной окружности треугольника \(ABC\).
   Решение: Из условия \(S_{AOB} = S_{BOC}\) следует, что высота из \(B\) делит биссектрису \(AD\) в отношении \(1:1\). Используя теорему биссектрис и свойства площадей: \[ BC = \frac{3}{2} \sqrt{13}, \quad \text{Полупериметр } p = \frac{6 + 9 + \frac{3}{2}\sqrt{13}}{2} \] Радиус \(r = \frac{S}{p}\), где \(S\) — площадь треугольника. После расчётов: \[ r = \frac{9\sqrt{3}}{4}. \] Ответ: \(\frac{9\sqrt{3}}{4}\).
   
   
5. Количество прямоугольников с заданными вершинами.
   Решение: Вершины \((4,3)\) и \((-4,-3)\) — диагональ прямоугольника. Координаты других вершин \((x,y)\) и \((-x,-y)\), где \(x, y\) — целые числа, \(|x| \le 2015\), \(|y| \le 2015\). Всего возможных пар: \[ (2 \cdot 2015 - 7) \cdot (2 \cdot 2015 - 5) = 4023 \cdot 4025. \] Ответ: \(4023 \times 4025\).