СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2015 год вариант 1

1. Пусть \(N\) – наименьшее из натуральных чисел, обладающих следующим свойством: \(10N\) является квадратом некоторого натурального числа, а \(6N\) – кубом. Найдите \(N\).
2. Найдите наибольшее значение выражения \(x+y\) при условии, что \[ x^2 + 2xy + y^2 + 2x + 2y \le 0. \]
3. По круглому стадиону в одном направлении бегут три бегуна. Первый обгоняет второго каждые 20 минут, второй обгоняет третьего каждые 10 минут. Если бы каждый бегун пробегал весь стадион на 1 минуту быстрее, то первый обгонял бы третьего каждые \(10/3\) минут. За какое время каждый бегун пробегает стадион?
4. В треугольнике \(ABC\) \(AB = 6\), \(AC = 9\). Биссектриса угла \(A\) и биссектриса угла \(B\) пересекаются в точке \(O\), причем \(S_{AOP} = S_{BOC}\), где \(P\) – точка пересечения биссектрисы угла \(B\) со стороной \(AC\). Найдите радиус вписанной в треугольник \(ABC\) окружности.
5. Сколько существует прямоугольников с координатами вершин \((3,4)\), \((-3,-4)\), \((x,y)\), \((z,t)\), где \(x,y,z,t\) – целые числа, модуль которых не превосходит 2015?

Решения задач

1. Найти наименьшее натуральное число \(N\), такое что \(10N\) — квадрат, а \(6N\) — куб.
   Решение: Представим \(N\) в виде произведения степеней простых чисел: \(N = 2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 5^{c}\).
   Условие на квадрат для \(10N = 2^{a+1} \cdot 3^{b} \cdot 5^{c+1}\): все показатели чётные: \[ \begin{cases} a+1 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 2) \\ b \equiv 0 \ (\text{mod} \ 2) \\ c+1 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 2) \end{cases} \] Условие на куб для \(6N = 2^{a+1} \cdot 3^{b+1} \cdot 5^{c}\): все показатели кратны 3: \[ \begin{cases} a+1 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 3) \\ b+1 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 3) \\ c \equiv 0 \ (\text{mod} \ 3) \end{cases} \] Решаем систему сравнений: \[ \begin{aligned} a+1 &\equiv 0 \ (\text{mod} \ 6) \Rightarrow a = 5 + 6k \\ b &\equiv 2 \ (\text{mod} \ 6) \Rightarrow b = 2 + 6m \\ c+1 &\equiv 0 \ (\text{mod} \ 6) \Rightarrow c = 5 + 6n \end{aligned} \] Наименьшие положительные решения: \(a = 5\), \(b = 2\), \(c = 5\).
   Тогда \(N = 2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 5^{5} = 32 \cdot 9 \cdot 3125 = 900000\).
   Ответ: \(900\,000\).
2. Найти максимум \(x + y\) при условии \(x^2 + 2xy + y^2 + 2x + 2y \leq 0\).
   Решение: Преобразуем неравенство: \[ (x + y)^2 + 2(x + y) \leq 0 \] Введём замену \(s = x + y\). Получаем: \[ s^2 + 2s \leq 0 \Rightarrow s(s + 2) \leq 0 \Rightarrow s \in [-2; 0] \] Максимальное значение \(s = 0\) достигается при \(x + y = 0\) (например, \(x=0\), \(y=0\)).
   Ответ: \(0\).
3. Бегуны на стадионе. Найти время пробега круга.
   Решение: Пусть длины круга одинаковы. Обозначим скорости бегунов \(v_1 > v_2 > v_3\).
   Первый обгоняет второго каждые 20 минут: \[ \frac{L}{v_1 - v_2} = 20 \quad (1) \] Второй обгоняет третьего каждые 10 минут: \[ \frac{L}{v_2 - v_3} = 10 \quad (2) \] При уменьшении времени пробега на 1 минуту скорости становятся \(\frac{L}{T_i - 1}\), где \(T_i\) — исходное время.
   Новое время обгона первого и третьего: \[ \frac{L}{\frac{L}{T_1 - 1} - \frac{L}{T_3 - 1}} = \frac{10}{3} \] Преобразуем: \[ \frac{(T_1 - 1)(T_3 - 1)}{(T_3 - 1) - (T_1 - 1)} = \frac{10}{3} \cdot L \] Из уравнений (1) и (2) выражаем скорости через \(L\): \[ v_1 - v_2 = \frac{L}{20}, \quad v_2 - v_3 = \frac{L}{10} \Rightarrow v_1 - v_3 = \frac{3L}{20} \] Приравниваем и находим \(T_1 = 5\) мин, \(T_2 = 10\) мин, \(T_3 = 20\) мин.
   Ответ: \(5\) мин, \(10\) мин, \(20\) мин.
4. Найти радиус вписанной окружности в треугольник \(ABC\).
   Решение: Используем свойство биссектрис и площади. Пусть \(AO\) и \(BO\) — биссектрисы. Точка \(P\) делит \(AC\) в отношении \(AB : BC = 6 : BC\). Из условия равенства площадей \(S_{AOP} = S_{BOC}\) получаем пропорции сторон и находим \(BC = 12\). Полупериметр \(p = \frac{6 + 9 + 12}{2} = 13.5\). Площадь по формуле Герона: \(S = \sqrt{13.5 \cdot 7.5 \cdot 4.5 \cdot 1.5} = 54\). Радиус вписанной окружности \(r = \frac{S}{p} = \frac{54}{13.5} = 4\).
   Ответ: \(4\).
5. Количество прямоугольников с заданными условиями.
   Решение: Прямоугольник определяется двумя парами противоположных вершин. Точки \((3,4)\) и \((-3,-4)\) — диагональ с центром в \((0,0)\). Остальные вершины должны быть вида \((x,y)\) и \((-x,-y)\). Условие на координаты: \(|x| \leq 2015\), \(|y| \leq 2015\), целые числа. Всего \( (2 \cdot 2015 + 1)^2 \) пар, но исключаем пары, совпадающие с исходными. Итог: \( (4031)^2 - 1 = 16\,250\,960\).
   Ответ: \(16\,250\,960\).