СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2018 год вариант 2

1. Найдите все целочисленные решения неравенства: \[ \sqrt{2018} - \sqrt{2418} < -1 \] \[ x - \sqrt{2018} < -1 \]
   
   
2. Пункт A расположен на дороге между пунктами B и C. Из пункта A в пункт B вышел пешеход, а через час из пункта A вслед за ним выехал мотоциклист, догнал пешехода и, развернувшись, привез его в пункт C. На весь путь водитель потратил на 20 минут больше, чем если бы он сразу поехал в пункт C. Во сколько раз скорость мотоцикла больше скорости пешехода? (Считайте эти скорости постоянными.)
   
   
3. На доске последовательно выписаны такие пять чисел, что каждое следующее из них на одну и ту же величину больше предыдущего. Сумма квадратов этих чисел равна 90, а сумма их же кубов равна 0. Найдите выписанные числа.
   
   
4. В прямоугольный треугольник с катетами 15 и 8 вписываются всевозможные прямоугольные треугольники так, что их катеты параллельны катетам исходного треугольника, а вершины лежат на разных его сторонах (не в вершинах). Найдите наименьшее значение длины гипотенузы вписанных треугольников.
   
   
5. Найдите наибольшее значение n, при котором утвердительное количество всех n-значных натуральных чисел, содержащих цифру 0 (в своей десятичной записи), меньше удвоенного количества всех n-значных чисел, не содержащих цифру 0.

1. 45, 46, 47, 48, 49
2. в 7 раз
3. -6, -3, 0, 3, 6
4. \( \frac{120}{17} \)
5. 4

Решения задач

1. Найдите все целочисленные решения неравенства: \[ \sqrt{2018} - \sqrt{2418} < -1 \] \[ x - \sqrt{2018} < -1 \]
   Решение: Оценим числовые значения:
   \(\sqrt{2018} \approx 44.93\), \(\sqrt{2418} \approx 49.18\)
   Первое неравенство: \(44.93 - 49.18 \approx -4.25 < -1\) — верно для любого \(x\).
   Второе неравенство: \(x < \sqrt{2018} - 1 \approx 43.93\)
   Поскольку \(x\) — целое, получаем \(x \leq 43\).
   Ответ: Все целые \(x \leq 43\).
   
   
2. Пункт A расположен на дороге между пунктами B и C. Из пункта A в пункт B вышел пешеход, а через час из пункта A вслед за ним выехал мотоциклист, догнал пешехода и, развернувшись, привез его в пункт C. На весь путь водитель потратил на 20 минут больше, чем если бы он сразу поехал в пункт C. Во сколько раз скорость мотоцикла больше скорости пешехода?
   Решение: Пусть \(v\) — скорость пешехода, \(kv\) — скорость мотоцикла. Время до встречи пешехода: \(t = \frac{k}{k-1}\) часов. Время в пути мотоциклиста: \[ t - 1 + \frac{S + D}{kv} = \frac{D}{kv} + \frac{1}{3} \] После преобразований получаем уравнение: \[ \frac{k + 1}{k(k - 1)} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad k = 2 + \sqrt{7} \] Ответ: \(\boxed{2 + \sqrt{7}}\).
   
   
3. На доске последовательно выписаны пять чисел, образующих арифметическую прогрессию. Сумма квадратов этих чисел равна 90, а сумма их кубов равна 0. Найдите выписанные числа.
   Решение: Пусть числа: \(-2d, -d, 0, d, 2d\). Сумма квадратов: \[ 4d^2 + d^2 + 0 + d^2 + 4d^2 = 10d^2 = 90 \quad \Rightarrow \quad d = \pm3 \] Сумма кубов: \[ (-6)^3 + (-3)^3 + 0 + 3^3 + 6^3 = 0 \] Ответ: \(-6, -3, 0, 3, 6\).
   
   
4. В прямоугольный треугольник с катетами 15 и 8 вписываются всевозможные прямоугольные треугольники так, что их катеты параллельны катетам исходного треугольника, а вершины лежат на разных его сторонах. Найдите наименьшее значение длины гипотенузы вписанных треугольников.
   Решение: Пусть вершины вписанного треугольника лежат на катетах \(AB\) и \(AC\), третья вершина — на гипотенузе \(BC\). Координаты вершин: \((x, 0)\), \((0, y)\), \((x, y)\), удовлетворяющие уравнению гипотенузы \(\frac{x}{15} + \frac{y}{8} = 1\). Длина гипотенузы: \[ \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + \left(8\left(1 - \frac{x}{15}\right)\right)^2} \] Минимум достигается при \(x = \frac{15 \cdot 64}{289}\), \(y = \frac{8 \cdot 225}{289}\):
   Ответ: \(\boxed{\frac{120}{17}}\).
   
   
5. Найдите наибольшее значение \(n\), при котором количество всех \(n\)-значных натуральных чисел, содержащих цифру 0, меньше удвоенного количества всех \(n\)-значных чисел, не содержащих цифру 0.
   Решение: Условие: \[ 9 \cdot 10^{n-1} - 9^n < 2 \cdot 9^n \quad \Rightarrow \quad \left(\frac{10}{9}\right)^{n-1} < 3 \] Логарифмируем: \[ n - 1 < \frac{\ln 3}{\ln \frac{10}{9}} \approx 10.43 \quad \Rightarrow \quad n = 11 \] Ответ: \(\boxed{11}\).