СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2018 год вариант 1

1. Найдите все целочисленные решения неравенства: \[ \sqrt{2018} - \sqrt{1618} \div \frac{\sqrt{2018 - x}}{2018} > 1. \]
   
   
2. Пункт A расположен на дороге между пунктами B и C. Из пункта A в пункт B вышел пешеход, а через час из пункта A вслед за ним выехал водитель на автомобиле, догнал пешехода и развернувшись, привез его в пункт C. На весь путь водитель потратил на 10 минут больше, чем если бы он сразу поехал в пункт C. Во сколько раз скорость автомобиля больше скорости пешехода? (Считайте эти скорости постоянными.)
   
   
3. На доске последовательно выписаны такие пять чисел, что каждое следующее из них на одну и ту же величину меньше предыдущего. Сумма квадратов этих чисел равна 40, а сумма их же кубов равна 0. Найдите выписанные числа.
   
   
4. В прямоугольные треугольники с катетами 12 и 5 вписываются всевозможные прямоугольные треугольники, у которых один катет параллелен катету исходного треугольника, а вершины лежат на разных его сторонах (вне и в вершинах). Найдите наименьшее значение длины гипотенузы этих треугольников.
   
   
5. Найдите наибольшее возможное натуральное число, которое не может быть записано в виде суммы двух чисел, представленных в шестнадцатеричной системе счисления, меньших 1E.

1. 41, 42, 43, 44
2. в 13 раз
3. 4, 2, 0, -2, -4
4. \( \frac{60}{13} \)
5. 5

Решения задач

1. Найдите все целочисленные решения неравенства: \[ \sqrt{2018} - \sqrt{1618} \div \frac{\sqrt{2018 - x}}{2018} > 1. \]
   Решение: Перепишем неравенство: \[ \sqrt{2018} - \frac{\sqrt{1618} \cdot 2018}{\sqrt{2018 - x}} > 1. \] После преобразований получим: \[ \sqrt{2018 - x} < \frac{2018 \sqrt{1618}}{\sqrt{2018} - 1}. \] Правая часть неравенства оказывается больше \(\sqrt{2018}\), что противоречит допустимым значениям \(x \leq 2018\). Следовательно, целочисленных решений нет.
   Ответ: Нет решений.
2. Пункт A расположен на дороге между пунктами B и C. Из пункта A в пункт B вышел пешеход, а через час из пункта A вслед за ним выехал автомобиль, догнал пешехода, развернулся и привез его в пункт C. Время пути водителя на 10 минут больше, чем если бы он сразу поехал в C. Во сколько раз скорость автомобиля больше скорости пешехода?
   Решение: Пусть \(v\) — скорость пешехода, \(u\) — скорость автомобиля. Время до встречи: \(t = \frac{v}{u - v}\). Общее время водителя: \(2t = \frac{1}{6}\) часа. Отсюда: \[ t = \frac{1}{12}, \quad \frac{v}{u - v} = \frac{1}{12} \implies 13v = u \implies \frac{u}{v} = 13. \] Ответ: В 13 раз.
3. Последовательно выписаны пять чисел с разностью \(d\). Сумма квадратов равна 40, сумма кубов равна 0. Найдите числа.
   Решение: Числа имеют вид: \(a, a-d, a-2d, a-3d, a-4d\). Среднее число равно 0 (из условия суммы кубов). Сумма квадратов: \(10d^2 = 40 \implies d = 2\). Числа: \(-4, -2, 0, 2, 4\).
   Ответ: \(-4, -2, 0, 2, 4\).
4. В прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5 вписываются прямоугольные треугольники с катетами, параллельными исходным. Найдите минимальную длину гипотенузы.
   Решение: Гипотенуза минимизируется, когда треугольник подобен исходному.Коэффициент подобия \(k\): \[ \frac{60}{13}. \] Ответ: \(\frac{60}{13}\).
5. Найдите наибольшее натуральное число, не представимое суммой двух чисел, меньших \(1E_{16}\) (30 в десятичной системе).
   Решение: Максимальная сумма двух допустимых чисел (\(29 + 29 = 58\)). Число \(59 = 29 + 30\) невозможно, так как 30 недопустимо.
   Ответ: 59.