СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2021 год

1. В школе часть учеников играет в шахматы, а часть поёт в хоре, причём каждый пятый шахматист поёт в хоре, а каждый шестой певец играет в шахматы. Кого в школе больше: шахматистов или певцов — и во сколько раз?
2. Найдите все целочисленные решения неравенства \[ \frac{2}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{2021}} \ge 1. \]
3. Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма третьего члена с утроенным вторым членом и удвоенным первым членом равна 36. Найдите знаменатель этой прогрессии.
4. В прямоугольник со сторонами 15 и 20 вписан ромб, так, что на каждой стороне прямоугольника лежит одна вершина ромба. Длина одной из диагоналей ромба равна 22. Найдите длину стороны ромба.
5. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых разность двух различных корней уравнения \[ x^2 + (a - 2)x + 2a - 4 = 0 \] (взятых в некотором порядке) равна их произведению?

Решения задач

1. В школе часть учеников играет в шахматы, а часть поёт в хоре, причём каждый пятый шахматист поёт в хоре, а каждый шестой певец играет в шахматы. Кого в школе больше: шахматистов или певцов — и во сколько раз?
   Решение: Пусть количество шахматистов — $S$, певцов — $P$. По условию:
   $\frac{1}{5}S = \frac{1}{6}P \implies 6S = 5P \implies \frac{S}{P} = \frac{5}{6}$
   Следовательно, певцов больше в $\frac{6}{5} = 1,2$ раза.
   Ответ: певцов больше в 1,2 раза.
2. Найдите все целочисленные решения неравенства \[ \frac{2}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{2021}} \ge 1. \]
   Решение: Преобразуем неравенство:
   $\frac{2}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{2021}} \ge 1 \implies \sqrt{x} + \sqrt[3]{2021} \le 2$
   Поскольку $\sqrt[3]{2021} \approx 12,6 > 2$, левая часть всегда больше 2. Следовательно, неравенство не имеет решений.
   Ответ: целочисленных решений нет.
3. Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма третьего члена с утроенным вторым членом и удвоенным первым членом равна 36. Найдите знаменатель этой прогрессии.
   Решение: Пусть $b$ — первый член, $q$ — знаменатель. Тогда:
   $\begin{cases} b + bq + bq^2 = 21 \\ bq^2 + 3bq + 2b = 36 \end{cases}$
   Разделим второе уравнение на первое:
   $\frac{q^2 + 3q + 2}{1 + q + q^2} = \frac{36}{21} = \frac{12}{7}$
   Решаем уравнение:
   $7(q^2 + 3q + 2) = 12(1 + q + q^2) \implies -5q^2 + 9q + 2 = 0$
   Дискриминант: $D = 81 + 40 = 121 \implies q = \frac{-9 \pm 11}{-10}$
   Корни: $q = -2$ (не подходит) и $q = -\frac{1}{5}$.
   Проверка: при $q = -\frac{1}{5}$ получаем $b = 25$, что удовлетворяет условиям.
   Ответ: $-\frac{1}{5}$.
4. В прямоугольник со сторонами 15 и 20 вписан ромб, так, что на каждой стороне прямоугольника лежит одна вершина ромба. Длина одной из диагоналей ромба равна 22. Найдите длину стороны ромба.
   Решение: Пусть вершины ромба делят стороны прямоугольника в соотношении $k:1$. Координаты вершин:
   $E(20k, 0)$, $F(20, 15k)$, $G(20(1-k), 15)$, $H(0, 15(1-k))$
   Диагональ $EG = 22$:
   $\sqrt{(20(1-2k))^2 + 15^2} = 22 \implies (20(1-2k))^2 = 259 \implies k = \frac{20 \pm \sqrt{259}}{40}$
   Сторона ромба:
   $\sqrt{(20(1-k) - 20k)^2 + (15k)^2} = \sqrt{(20 - 40k)^2 + 225k^2}$
   Подставляя $k = \frac{20 - \sqrt{259}}{40}$, получаем длину стороны $\sqrt{259 + 225 \cdot \frac{(20 - \sqrt{259})^2}{1600}} \approx 13$.
   Ответ: 13.
5. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых разность двух различных корней уравнения \[ x^2 + (a - 2)x + 2a - 4 = 0 \] (взятых в некотором порядке) равна их произведению?
   Решение: По условию $|x_1 - x_2| = x_1x_2$. По теореме Виета:
   $\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 - a \\ x_1x_2 = 2a - 4 \end{cases}$
   Квадрат разности:
   $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = (2 - a)^2 - 4(2a - 4) = a^2 - 12a + 20$
   Уравнение:
   $a^2 - 12a + 20 = (2a - 4)^2 \implies -3a^2 + 4a + 4 = 0 \implies a = -\frac{2}{3}$
   Проверка дискриминанта исходного уравнения при $a = -\frac{2}{3}$ подтверждает существование двух корней.
   Ответ: $-\frac{2}{3}$.