СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2019 год вариант 2

1. Решите уравнение \[ \frac{1}{\lvert x + 2019\rvert - \lvert x\rvert} = 1. \]
2. Произведение двух чисел равно удвоенной их сумме, а утроенное произведение — сумме их квадратов. Найдите все пары таких чисел.
3. На сторонах \(AB\) и \(AD\) квадрата \(ABCD\) площадью 16 взяты соответственно такие точки \(P\) и \(Q\), что площадь треугольника \(CPQ\) равна \(\tfrac{13}{2}\), а площадь треугольника \(CDQ\) втрое больше площади треугольника \(CBP\). Найдите площадь треугольника \(APQ\).
4. Сколько существует четырёхзначных натуральных чисел, каждое из которых кратно шести, содержит в своей десятичной записи ровно две различные цифры и не содержит трёх одинаковых цифр?
5. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 4, и отрезок \(AB\) длиной 15, оба конца которого равноудалены от этих прямых. На одной прямой выбирают точку \(M\), а на другой — точку \(N\). Какова наименьшая возможная длина ломаной \(AMNB\)?

1. $x = -1009$
2. $0, 0$ и $5 + \sqrt{5},\;5 - \sqrt{5}$
3. $\displaystyle\frac{3}{2}$
4. $40$
5. $17$

Решения задач

1. Решите уравнение \[ \frac{1}{\lvert x + 2019\rvert - \lvert x\rvert} = 1. \]
   Решение:
   Уравнение эквивалентно \[ \lvert x + 2019\rvert - \lvert x\rvert = 1. \] Рассмотрим три случая:
   Случай 1: \(x < -2019\). \[ -(x + 2019) + x = -2019 \neq 1 \text{ ⇒ решений нет.} \] Случай 2: \(-2019 \leq x < 0\). \[ (x + 2019) + x = 2x + 2019 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = -1009. \] Проверка: \(-2019 \leq -1009 < 0\) ⇒ решение верно. Случай 3: \(x \geq 0\). \[ (x + 2019) - x = 2019 \neq 1 \text{ ⇒ решений нет.} \] Ответ: \(-1009\).
2. Произведение двух чисел равно удвоенной их сумме, а утроенное произведение — сумме их квадратов. Найдите все пары таких чисел.
   Решение:
   Пусть числа \(a\) и \(b\). Условия: \[ \begin{cases} ab = 2(a + b), \\ 3ab = a^2 + b^2. \end{cases} \] Из первого уравнения \(ab = 2a + 2b\), выразим \(b = \frac{2a}{a - 2}\). Подставим во второе: \[ 3a \cdot \frac{2a}{a - 2} = a^2 + \left(\frac{2a}{a - 2}\right)^2. \] Упростим и решим: \[ 6a^2 = (a - 2)(a^2 + \frac{4a^2}{(a - 2)^2}) \quad ⇒ \quad ... \quad ⇒ \quad a^2 -10a +20=0. \] Дискриминант \(D = 20\), корни \(a = 5 \pm \sqrt{5}\). Тогда \(b = 5 \mp \sqrt{5}\).
   Ответ: \((5 + \sqrt{5},\ 5 - \sqrt{5})\) и \((5 - \sqrt{5},\ 5 + \sqrt{5})\).
3. На сторонах \(AB\) и \(AD\) квадрата \(ABCD\) площадью 16 взяты соответственно такие точки \(P\) и \(Q\), что площадь треугольника \(CPQ\) равна \(\tfrac{13}{2}\), а площадь треугольника \(CDQ\) втрое больше площади треугольника \(CBP\). Найдите площадь треугольника \(APQ\).
   Решение:
   Длина стороны квадрата 4. Координаты: \(C(4,4)\), \(P(p,0)\), \(Q(0,q)\).
   Площадь \(\triangle CDQ\) равна \(2(4 - q)\), площадь \(\triangle CBP\) равна \(8 - 2p\). Из условия: \[ 2(4 - q) = 3(8 - 2p) \quad ⇒ \quad q = 3p - 8. \] Площадь \(\triangle CPQ\): \[ \frac{1}{2} |pq -4p -4q| = \frac{13}{2} \quad ⇒ \quad p = 3, \ q = 1. \] Площадь \(\triangle APQ\) с вершинами \(A(0,0)\), \(P(3,0)\), \(Q(0,1)\): \[ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = \frac{3}{2}. \] Ответ: \(\frac{3}{2}\).
4. Сколько существует четырёхзначных натуральных чисел, каждое из которых кратно шести, содержит в своей десятичной записи ровно две различные цифры и не содержит трёх одинаковых цифр?
   Решение:
   Число должно быть четным, сумма цифр кратна 3, содержит две разные цифры в количестве двух каждой.
   Случай 1: Одна из цифр — 0. Пары: \((0,\ 3),\ (0,\ 6),\ (0,\ 9)\). Всего допустимых чисел: 7.
   Случай 2: Две ненулевые цифры. Подходящие пары \((A,B)\): \(\{3,6\},\ \{3,9\},\ \{6,9\},\ \{1,2\},\ \{1,5\},\ \{1,8\},\ \{4,2\},\ \{4,5\},\ \{4,8\},\ \{7,2\},\ \{7,5\},\ \{7,8\}\}\). Каждая пара дает 6 чисел. Общее число: \(9 \cdot 6 = 54\).
   Всего: \(7 + 54 = 61\).
   Ответ: 61.
5. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 4, и отрезок \(AB\) длиной 15, оба конца которого равноудалены от этих прямых. На одной прямой выбирают точку \(M\), а на другой — точку \(N\). Какова наименьшая возможная длина ломаной \(AMNB\)?
   Решение:
   Отражение точки \(B\) через ближайшую прямую. Минимальная длина соответствует прямой \(AMNB'\) (где \(B'\) — отражение \(B\)). По теореме Пифагора: \[ |AB'| = \sqrt{15^2 + 8^2} = 17. \] Таким образом, длина \(AMNB\) равна 17.
   Ответ: 17.