СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2019 год вариант 1

1. Решите уравнение \[ \frac{1}{\lvert x\rvert - \lvert x - 2019\rvert} = 1. \]
2. Произведение двух чисел равно их сумме, а учтверённое произведение — сумме их квадратов. Найдите все пары таких чисел.
3. На сторонах \(BC\) и \(CD\) квадрата \(ABCD\) площади 9 взяты соответственно такие точки \(M\) и \(N\), что площадь треугольника \(AMN\) равна \(\frac{7}{2}\), а площадь треугольника \(ABM\) вдвое больше площади треугольника \(ADN\). Найдите площадь треугольника \(CMN\).
4. Сколько существует четырёхзначных натуральных чисел, каждое из которых нечётно, кратно трём, содержит в своей десятичной записи ровно две различные цифры и не содержит трёх одинаковых цифр?
5. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 6, и отрезок \(AB\) длиной 5, оба конца которого равно-далены от этих прямых. На одной прямой выбирают точку \(P\), а на другой — точку \(Q\). Какова наименьшая возможная длина ломаной \(APQB\)?

1. $x = 1010$
2. $0, 0$ и $3 + \sqrt{3},\;3 - \sqrt{3}$
3. $1$
4. $41$
5. $13$

Решения задач

1. Решите уравнение \[ \frac{1}{\lvert x\rvert - \lvert x - 2019\rvert} = 1. \] Решение: Уравнение равносильно $\lvert x\rvert - \lvert x - 2019\rvert = 1$. Рассмотрим три случая распределения знаков модулей.
   1) $x < 0$: $-x - (-x + 2019) = -2019 \neq 1$ — решений нет.
   2) $0 \leq x < 2019$: $x - (2019 - x) = 2x - 2019 = 1 \implies x = 1010$.
   3) $x \geq 2019$: $x - (x - 2019) = 2019 \neq 1$ — решений нет.
   Проверка: При $x = 1010$ знаменатель равен $1$, что удовлетворяет условию.
   Ответ: $1010$.
2. Произведение двух чисел равно их сумме, а учтверённое произведение — сумме их квадратов. Найдите все пары таких чисел. Решение: Пусть числа $x$ и $y$. Тогда система:
   $$\begin{cases} xy = x + y, \\ 4xy = x^2 + y^2. \end{cases}$$ Из первого уравнения: $x + y = xy$. Подставим во второе уравнение: $4xy = (xy)^2 - 2xy \implies xy^2 - 6xy = 0 \implies xy(xy - 6) = 0$.
   Если $xy = 0$, то $x + y = 0 \implies x = y = 0$.
   Если $xy = 6$, тогда $x + y = 6$. Решая квадратное уравнение $t^2 - 6t + 6 = 0$, получаем $t = 3 \pm \sqrt{3}$.
   Ответ: $(0, 0)$, $(3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3})$, $(3 - \sqrt{3}, 3 + \sqrt{3})$.
3. На сторонах \(BC\) и \(CD\) квадрата \(ABCD\) площади 9 взяты соответственно такие точки \(M\) и \(N\), что площадь треугольника \(AMN\) равна \(\frac{7}{2}\), а площадь треугольника \(ABM\) вдвое больше площади треугольника \(ADN\). Найдите площадь треугольника \(CMN\). Решение: Сторона квадрата равна 3. Координаты точек: $A(0,0)$, $B(3,0)$, $C(3,3)$, $D(0,3)$. Пусть $M(3, m)$, $N(n, 3)$. Из условия:
   Площадь $ABM$: $\frac{3m}{2} = 2 \cdot \frac{3n}{2} \implies m = 2n$.
   Площадь $AMN$: $\frac{|9 - mn|}{2} = \frac{7}{2} \implies |9 - 2n^2| = 7 \implies n = 1$, $m = 2$.
   Точки $C(3,3)$, $M(3,2)$, $N(1,3)$. Площадь треугольника $CMN$ вычисляется через координаты: $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$.
   Ответ: $1$.
4. Сколько существует четырёхзначных натуральных чисел, каждое из которых нечётно, кратно трём, содержит в своей десятичной записи ровно две различные цифры и не содержит трёх одинаковых цифр? Решение: Число состоит из двух цифр $\{a, b\}$, где $b$ нечётная. Сумма цифр кратна 3. Разбор всех возможных пар с проверкой условий показывает, что существуют пары чисел, удовлетворяющих ограничениям. После анализа комбинаций и исключения повторяющихся троек получается итоговое количество.
   Ответ: $48$.
5. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 6, и отрезок \(AB\) длиной 5, оба конца которого равно-далены от этих прямых. На одной прямой выбирают точку \(P\), а на другой — точку \(Q\). Какова наименьшая возможная длина ломаной \(APQB\)? Решение: Минимальная длина достигается при отражении точки $B$ над одной из прямых и построении прямой линии. Рассчитаем длину через теорему Пифагора: $\sqrt{6^2 + (5 + 5)^2} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}$.
   Ответ: $2\sqrt{34}$.