СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 30 марта 2013 г. Вариант 2

1. Цену билета на каток 4 января снизили на 15%. При этом число посетителей увеличилось на 25%, а выручка за 4 января выросла на 625 рублей по сравнению с 3 января. Какова была выручка катка за 3 января?
2. Первый член арифметической прогрессии равен 75. Первый, шестой и девятый члены составляют геометрическую прогрессию со знаменателем, меньшим единицы. Найти восьмой член арифметической прогрессии.
3. Дана трапеция с боковыми сторонами, равными 8 и 10. Прямая \(a\) пересекает основания так, что площадь трапеции разбивается пополам и периметры двух четырёхугольников, на которые разбивается трапеция, относятся как \(11:12\). Найти сумму длин оснований трапеции, если длина отрезка прямой \(a\) с концами, лежащими на основаниях трапеции, равна 9.
4. Пусть \(x_1,x_2\) (\(x_1<x_2\)) — корни уравнения \[ x^2 - \frac{\sqrt{141}}{3}\,x + \frac{3}{2} = 0. \] Найти значение выражения \(x_2^3 - x_1^3\). Ответ записать в простом виде (десятичная запись).
5. Найти все значения \(b\), при которых уравнение \[ b x^2 + x + 6b^2 - 1 = 0 \] имеет корни, причём только целые.
6. Найти функцию \(g(x)\) такую, что \(g(0)=5\) и для любого действительного \(x\), не равного 0, выполняется равенство \[ g(x) - 2\,g\bigl(\tfrac1x\bigr) \;=\; \frac{3x^2 - 5x - 6}{x}. \]

1. 10000~руб.
2. 33.
3. 10.
4. 12.
5. $b = 0,\; -\tfrac{1}{6},\; -\tfrac{1}{2}$.
6. $g(x) = 3x + 5$.

Решения задач

1. Цену билета на каток 4 января снизили на 15\%. При этом число посетителей увеличилось на 25\%, а выручка за 4 января выросла на 625 рублей по сравнению с 3 января. Какова была выручка катка за 3 января?
   Решение: Пусть выручка за 3 января равна \( R \) руб. Тогда цена билета — \( \frac{R}{N} \), где \( N \) — число посетителей. С 4 января цена составила \( 0{,}85 \cdot \frac{R}{N} \), число посетителей — \( 1{,}25N \). Новая выручка:
   \[ 0{,}85 \cdot \frac{R}{N} \cdot 1{,}25N = 1{,}0625R \]
   Прирост выручки: \( 1{,}0625R - R = 0{,}0625R = 625 \) ⇒
   \[ R = \frac{625}{0{,}0625} = 10000 \text{ руб.} \]
   Ответ: 10000 рублей.
2. Первый член арифметической прогрессии равен 75. Первый, шестой и девятый члены составляют геометрическую прогрессию со знаменателем, меньшим единицы. Найти восьмой член арифметической прогрессии.
   Решение: Пусть разность арифметической прогрессии равна \( d \). Тогда: \[ a_1 = 75, \quad a_6 = 75 + 5d, \quad a_9 = 75 + 8d \] Условие геометрической прогрессии: \[ \left(a_6\right)^2 = a_1 \cdot a_9 \] \[ (75 + 5d)^2 = 75(75 + 8d) \] \[ 5625 + 750d + 25d^2 = 5625 + 600d \] \[ 25d^2 + 150d = 0 \Rightarrow d = 0 \text{ (не подходит)}, \quad d = -6 \] Тогда: \[ a_8 = a_1 + 7d = 75 + 7(-6) = 33 \]
   Ответ: 33.
3. Дана трапеция с боковыми сторонами, равными 8 и 10. Прямая \(a\) пересекает основания так, что площадь трапеции разбивается пополам и периметры двух четырёхугольников, на которые разбивается трапеция, относятся как \(11:12\). Найти сумму длин оснований трапеции, если длина отрезка прямой \(a\) с концами, лежащими на основаниях трапеции, равна 9.
   Решение: Средняя линия, делящая площадь пополам, равна \(\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} = 9\). Откуда: \[ a^2 + b^2 = 162 \] Из периметров: сумма оснований \(a + b = 18\). Проверка: при \(a + b = 18\), общая площадь \(\frac{(a + b)}{2} \cdot h\), а площадь половинок \(\frac{18}{2} \cdot \frac{h}{2} \cdot 2 = 9h\), что делится поровну. Таким образом:
   Ответ: 18.
4. Даны корни уравнения \(x^2 - \frac{\sqrt{141}}{3}\,x + \frac{3}{2} = 0\). Найти значение выражения \(x_2^3 - x_1^3\).
   Решение: По формулам Виета:
   \[ x_1 + x_2 = \frac{\sqrt{141}}{3},\quad x_1x_2 = \frac{3}{2} \] \[ x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2) \] \[ x_2 - x_1 = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{\frac{87}{3}} = \sqrt{\frac{29}{1}} \] \[ x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2 = \left(\frac{\sqrt{141}}{3}\right)^2 - \frac{3}{2} = \frac{38}{3} \] \[ x_2^3 - x_1^3 = \sqrt{\frac{29}{3}} \cdot \frac{38}{3} \approx 22{,}54 \]
   Ответ: 22,54.
5. Найти все значения \(b\), при которых уравнение \(b x^2 + x + 6b^2 - 1 = 0\) имеет только целые корни.
   Решение: Пусть корни \(m\) и \(n\) — целые. По Виету:
   \[ m + n = -\frac{1}{b}, \quad mn = \frac{6b^2 - 1}{b} \] \[ -\frac{1}{b} \text{ — целое} \Rightarrow b = -\frac{1}{k}, \, k \in \mathbb{Z} \] Подстановка \(b = -\frac{1}{k}\):
   \[ mn = \frac{6\left(-\frac{1}{k}\right)^2 - 1}{-\frac{1}{k}} = k - \frac{6}{k} \] Оба слагаемых целые ⇒ \(k\) делит 6 ⇒ возможные \(k = \pm1, \pm2, \pm3, \pm6\). Проверка допустимых значений: \[ b = -\frac{1}{6} \Rightarrow корни\ 5\ и\ 1; \quad b = \frac{1}{2} \Rightarrow корень\ -1\ (двойной) \]
   Ответ: \(b = \frac{1}{2}\), \(b = -\frac{1}{6}\).
6. Найти функцию \(g(x)\) такую, что \(g(0)=5\) и для любого \(x \neq 0\): \[ g(x) - 2g\left(\tfrac{1}{x}\right) = \frac{3x^2 - 5x - 6}{x} \]
   Решение: Подставим \(x \rightarrow \frac{1}{x}\):
   \[ g\left(\tfrac{1}{x}\right) - 2g(x) = \frac{3/x - 5 - 6x}{1} \] Решая систему уравнений, находим: \[ g(x) = 3x + 5 \] Проверка: \(g(0) = 5\), функционал выполняется.
   Ответ: \(g(x) = 3x + 5\).