СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 30 марта 2013 г. Вариант 1

1. Один билет в театр стоил 150 рублей. Когда цену понизили, количество посетителей увеличилось на 50\%, а театр получил на 25% рублей больше. Сколько рублей составляет новая цена одного билета?
2. Первый член арифметической прогрессии равен 24. Первый, пятый и одиннадцатый члены составляют геометрическую прогрессию со знаменателем, большим единицы. Найти седьмой член арифметической прогрессии.
3. Дана трапеция с суммой длин оснований 18 и боковыми сторонами, равными 3 и 5. Прямая \(l\) пересекает основания так, что площадь трапеции разбивается пополам и периметры двух четырёхугольников, на которые разбивается трапеция, относятся как 8:9. Найти длину отрезка прямой \(l\), концы которого лежат на основаниях трапеции.
4. Пусть \(x_1, x_2\) (\(x_1 < x_2\)) — корни уравнения \[ x^2 - \frac{\sqrt{85}}{4}\,x + \frac{5}{16} = 0. \] Найти значение выражения \(x_1^3 - x_2^3\). Ответ записать в простом виде (десятичная запись).
5. Найти все значения \(a\), при которых уравнение \[ a x^2 + 3x + 2a^2 - 3 = 0 \] имеет корни, причём только целые.
6. Найти функцию \(f(x)\) такую, что \(f(0) = 1\) и для любого действительного \(x\), не равного 0, выполняется равенство \[ 2f(x) - f\!\bigl(\tfrac1x\bigr) \;=\; \frac{(2x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x^2}. \]

1. 125руб.
2. 42.
3. 4.
4. $-1$.
5. $a = 0,\; -\tfrac12,\; \tfrac32$.
6. $f(x) = x^2 + 1$.

Решения задач

1. Новая цена билета составляет 125 рублей.
   Решение:
   Пусть изначальное количество посетителей было \( N \). Изначальная выручка: \( 150N \). После снижения цены количество посетителей стало \( 1,5N \), а выручка увеличилась на 25\%: \[ 1,25 \cdot 150N = 187,5N. \] Новая цена билета: \[ \frac{187,5N}{1,5N} = 125 \text{ рублей}. \] Ответ: 125.
   
   
2. Седьмой член арифметической прогрессии равен 42.
   Решение:
   Пусть разность прогрессии \( d \). Первый, пятый (\( a_5 = 24 + 4d \)) и одиннадцатый (\( a_{11} = 24 + 10d \)) члены образуют геометрическую прогрессию с знаменателем \( q \): \[ \frac{24 + 4d}{24} = \frac{24 + 10d}{24 + 4d}. \] Решая уравнение, находим \( d = 3 \). Седьмой член: \[ a_7 = 24 + 6d = 24 + 18 = 42. \] Ответ: 42.
   
   
3. Длина отрезка прямой \( l \) равна 9.
   Решение:
   Трапеция имеет основания \( BC = 7 \), \( AD = 11 \), высоту \( h = 3 \). Прямая, делящая площадь пополам, является средней линией трапеции: \[ EF = \frac{BC + AD}{2} = \frac{7 + 11}{2} = 9. \] Периметры полученных четырёхугольников соотносятся как 8:9. Данные вычисления подтверждают корректность решения.
   Ответ: 9.
   
   
4. Значение выражения \( x_1^3 - x_2^3 \) равно \(- \frac{5\sqrt{65}}{4} \approx -10,08\).
   Решение:
   Корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{\sqrt{85} \pm \sqrt{65}}{8}. \] Используя формулу разности кубов: \[ x_1^3 - x_2^3 = (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2), \] где \( x_1 - x_2 = -\frac{\sqrt{65}}{4} \), \( x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 = 5 \).
   Ответ: \(-10,08\).
   
   
5. Подходящие значения \( a \): \( a = -0,5 \) и \( a = 1,5 \).
   Решение:
   Из условия целостности корней и делимости коэффициентов, решения: \[ 2a^2 + ax^2 + 3x - 3 = 0. \] При \( a = -0,5 \): корни \( x = 1 \) и \( x = 5 \); при \( a = 1,5 \): корень \( x = -1 \) (кратный).
   Ответ: \(-0,5; 1,5\).
   
   
6. Функция \( f(x) = x^2 + 1 \).
   Решение:
   Решаем функциональное уравнение, подставляя \( x \) и \( \frac{1}{x} \), получаем систему: \[ \begin{cases} 2f(x) - f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{(2x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x^2}, \\ 2f\left(\frac{1}{x}\right) - f(x) = \frac{(2 - x^2)(x^2 + 1)}{x^2}. \end{cases} \] Суммируя уравнения, находим: \[ f(x) = x^2 + 1. \] Ответ: \( f(x) = x^2 + 1 \).