СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2018 год вариант 9

1. Найдите все целочисленные решения неравенства: \[ \frac{1}{x - \sqrt{2218}} < \frac{1}{x - \sqrt{2018}}. \]
   
   
2. Из пункта A в пункт B вышел пешеход. Через 15 минут из пункта A выехал велосипедист, который, доехав до пункта B, сразу повернул обратно и вернулся в пункт A. По пути в пункт B велосипедист догнал пешехода через 5 минут после выезда из пункта A, а еще через 10 минут снова встретил его на обратном пути (оба они двигались с постоянными скоростями). За сколько минут пешеход добрался из пункта A до пункта B?
   
   
   
3. Найдите количество четырехзначных (в десятичной системе счисления) натуральных чисел, кратных 9 и не кратных ни 39, ни 15.
   
   
   
4. В прямоугольном треугольнике ABC на катете BC = 4 взята точка E, а на гипотенузе AB = 5 точка F так, что BE = 3 и BF = 3. Каково наименьшее значение суммы EG + FG, если точка G лежит на катете AC?
   
   
   
5. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых отношение корней квадратного уравнения \[ f(x) = x^2 - 2\sqrt{5x} + a^2 - 4a + 8 \] является целым числом (кратный корень считается, как два одинаковых корня).
   

1. 45, 46, 47
2. 45
3. 739
4. \( \sqrt{10} \)
5. 1, \( \frac{4}{3} \), \( \frac{8}{3} \), 3

Решения задач

1. Найдите все целочисленные решения неравенства: \[ \frac{1}{x - \sqrt{2218}} < \frac{1}{x - \sqrt{2018}}. \] Решение: Перенесем дроби в одну часть: \[ \frac{1}{x - \sqrt{2218}} - \frac{1}{x - \sqrt{2018}} 0 \] Неравенство сводится к: \[ (x - \sqrt{2218})(x - \sqrt{2018}) < 0 \] Решением будут $x \in (\sqrt{2018}; \sqrt{2218})$. Целые числа в этом интервале: \[ \sqrt{2018} \approx 44.9,\quad \sqrt{2218} \approx 47.1 \] Целочисленные решения: $x = 45, 46, 47$.
   Ответ: $45, 46, 47$.
2. Из пункта $A$ в пункт $B$ вышел пешеход. Через 15 минут из пункта $A$ выехал велосипедист, который, доехав до $B$, сразу повернул обратно и встретил пешехода через 10 минут после первой встречи. За сколько минут пешеход добрался из $A$ в $B$? Решение: Обозначим скорости пешехода $v$ и велосипедиста $u=4v$ (найдено из первой встречи). Расстояние между пунктами $S$. Время пешехода до пункта $B$ составляет: \[ \frac{S}{v} = \frac{45v}{v} = 45 \text{ минут}. \] Ответ: 45.
3. Найдите количество четырехзначных натуральных чисел, кратных 9 и не кратных ни 39, ни 15. Решение: Числа кратные 9: \[ 1008, 1017, ..., 9999 \rightarrow \text{Всего } 1000 \text{ чисел}. \] Исключим числа кратные НОК(9,39)=117 и НОК(9,15)=45. Используя включение-исключение: \[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 77 + 200 - 16 = 261. \] Итоговое количество: \[ 1000 - 261 = 739. \] Ответ: 739.
4. В прямоугольном треугольнике $ABC$ на катете $BC=4$ взята точка $E$, а на гипотенузе $AB=5$ точка $F$ так, что $BE=3$ и $BF=3$. Найдите наименьшее значение суммы $EG + FG$, если $G$ лежит на катете $AC$. Решение: Введем координаты: $C(0,0)$, $B(0,4)$, $A(3,0)$. Точки $E(0,1)$, $F(\frac{9}{5}, \frac{8}{5})$. Отражение $F'(\frac{9}{5}, -\frac{8}{5})$. Минимум суммы расстояний $EG + FG$ равен длине отрезка $EF'$: \[ EF' = \sqrt{\left(\frac{9}{5}\right)^2 + \left(-1 - \frac{8}{5}\right)^2} = \sqrt{10}. \] Ответ: $\sqrt{10}$.
5. Найдите все значения $a$, при которых отношение корней квадратного уравнения \[ f(x) = x^2 - 2\sqrt{5}x + a^2 - 4a + 8 \] является целым числом. Решение: Дискриминант: \[ D = -4(a^2 - 4a + 3) \geq 0 \Rightarrow a \in [1;3]. \] Для отношения $k$: \[ 20\frac{k}{(k+1)^2} = a^2 - 4a + 8. \] Решая для целых $k$, находим $a$: \[ a = 1,\ \frac{4}{3},\ \frac{8}{3},\ 3. \] Ответ: $1$, $\frac{4}{3}$, $\frac{8}{3}$, $3$.