СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2018 вариант 0

1. Найдите все целочисленные решения неравенства: \[ \frac{1}{x - \sqrt{2018}} < \frac{1}{x - \sqrt{1818}}. \]
   
   
2. Из пункта A в пункт B вышел пешеход. Через 20 минут из пункта A выехал велосипедист, который, доехав до пункта B, сразу повернул обратно и вернулся в пункт A. По пути в пункт B велосипедист догнал пешехода через 5 минут после выезда из пункта A, а еще через 5 минут снова встретил его на обратном пути (оба они двигались с постоянными скоростями). За сколько минут пешеход добрался из пункта A до пункта B?
   
   
   
3. Найдите количество четырехзначных (в десятичной системе счисления) натуральных чисел, кратных 9 и не кратных ни 33, ни 21.
   
   
   
4. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) на катете \(AC = 3\) взята точка \(E\), а на гипотенузе \(AB = 5\) точка \(F\) так, что \(AE = 1\) и \(BF = 3\). Каково наименьшее значение суммы \(EG + FG\), если точка \(G\) лежит на катете \(BC\)?
   
   
   
5. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых отношение корней квадратного уравнения \[ f(x) = x^2 - 2\sqrt{5x} + a^2 - 2a + 5 \] является целым числом (кратный корень считается, как два одинаковых корня).
   

1. 43, 44
2. 40
3. 779
4. \( \sqrt{17} \)
5. 0, \( \frac{1}{3} \), \( \frac{5}{3} \), 2

Решения задач

1. Найдите все целочисленные решения неравенства: \[ \frac{1}{x - \sqrt{2018}} < \frac{1}{x - \sqrt{1818}}. \]
   Решение: Преобразуем неравенство: \[ \frac{1}{x - \sqrt{2018}} - \frac{1}{x - \sqrt{1818}} < 0 \implies \frac{\sqrt{2018} - \sqrt{1818}}{(x - \sqrt{2018})(x - \sqrt{1818})} \sqrt{1818} \] числитель положителен. Таким образом, знак дроби определяется знаменателем: \[ (x - \sqrt{2018})(x - \sqrt{1818}) < 0 \] Оценим значения корней: $\sqrt{1818} \approx 42.6$, $\sqrt{2018} \approx 44.9$.
   Решение неравенства: $\sqrt{1818} < x < \sqrt{2018}$. Так как $x$ должен быть целым, получаем $x = 43,44$. Однако необходимо исключить значения $x$, попадающие в промежуток $(42.6;44.9)$ и округленные до целых:
   Ответ: $x \in \{\ldots, 1,2,\ldots,42\} \cup \{45,46,\ldots\}$ или точные целые числа $x \leq 42$ и $x \geq 45$.
   Ответ: Целочисленные решения: все целые числа, кроме 43 и 44. Уточняя: $\boxed{x \leq 42 \; \text{и} \; x \geq 45}$.
   
   
2. Из пункта A в пункт B вышел пешеход. Через 20 минут из пункта A выехал велосипедист, который, доехав до пункта B, сразу повернул обратно и вернулся в пункт A. По пути в пункт B велосипедист догнал пешехода через 5 минут после выезда из пункта A, а еще через 5 минут снова встретил его на обратном пути. За сколько минут пешеход добрался из пункта A до пункта B?
   Решение: Пусть $v$ — скорость пешехода, $u$ — скорость велосипедиста, $S$ — расстояние между пунктами.
   Первая встреча: пешеход шел 25 мин ($\frac{25}{60}$ часа), велосипедист ехал 5 мин ($\frac{5}{60}$ часа). Тогда: \[ \frac{5}{60}u = \frac{25}{60}v \implies u = 5v \] Вторая встреча: велосипедист достиг B, потратил на путь вперед $\frac{S}{u}$, затем начал возвращение. Время движения велосипедиста от первой до второй встречи: 5 мин. За это время: \[ S - \frac{25}{60}v = \frac{10}{60}u + \frac{5}{60}v \implies S = \frac{80}{60}v = \frac{4}{3}v \] Полное время пешехода: $\frac{S}{v} = \frac{4}{3}\text{ часа} = 80$ минут.
   Ответ: 80 минут.
   
   
3. Найдите количество четырехзначных натуральных чисел, кратных 9 и не кратных ни 33, ни 21.
   Решение:
   • Четырехзначных чисел, кратных 9: $\frac{9999 - 1008}{9} + 1 = 1000$.
   • Числа, кратные НОК(9,33) = 99: $\frac{9999 - 1089}{99} + 1 = 91$.
   • Числа, кратные НОК(9,21) = 63: $\frac{9999 - 1008}{63} + 1 = 143$.
   • Числа, кратные НОК(99,63) = 693: $\frac{9999 - 6930}{693} + 1 = 5$.
     По формуле включений-исключений: \[ 1000 - 91 - 143 + 5 = 771 \]
   Ответ: 771.
   
   
4. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) на катете \(AC = 3\) взята точка \(E\), а на гипотенузе \(AB = 5\) точка \(F\) так, что \(AE = 1\) и \(BF = 3\). Каково наименьшее значение суммы \(EG + FG\), если точка \(G\) лежит на катете \(BC\)?
   Решение: Координаты точек:
   $C(0,0)$, $A(0,3)$, $B(4,0)$ (поскольку $BC = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$).
   $E(0,1)$, $F\left(\frac{8}{5}, \frac{9}{5}\right)$. Отражение $F$ относительно $BC$: $F'\left(\frac{8}{5}, -\frac{9}{5}\right)$.
   Минимальное значение $EG + FG$ равно длине отрезка $EF'$: \[ EF' = \sqrt{\left(\frac{8}{5}\right)^2 + \left(-\frac{14}{5}\right)^2} = \frac{2\sqrt{65}}{5} \] Ответ: $\frac{2\sqrt{65}}{5}$.
   
   
5. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых отношение корней квадратного уравнения \[ f(x) = x^2 - 2\sqrt{5}x + a^2 - 2a + 5 \] является целым числом.
   Решение: Пусть корни $x_1 = kx_2$, где $k$ целое. По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 2\sqrt{5}, \quad x_1x_2 = a^2 - 2a + 5 \] Для $k \in \mathbb{N}$ получаем: \[ x_1 = \frac{2k\sqrt{5}}{k+1}, \quad x_2 = \frac{2\sqrt{5}}{k+1} \] Подставляя в произведение: \[ \frac{4k \cdot 5}{(k+1)^2} = a^2 - 2a + 5 \implies \frac{20k}{(k+1)^2} = (a -1)^2 +4 \] Учитывая дискриминант $D = -4a^2 +8a \geq 0 \implies a \in [0,2]$. Возможные целые $k$: 1,2.
   При $k=1$: $\frac{20}{4}=5 \implies a=0$ или $2$.
   При $k=2$: $\frac{40}{9}\not\in\mathbb{Z}$, решений нет.
   Ответ: $a \in \{0,2\}$.