СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 28 мая 2017 Вариант 2

1. Гончару нужно изготовить несколько чашек и блюдец. Он тратит на формовку одной чашки 20 минут. Известно, что времена формовки одной чашки, формовки двух блюдец и одной чашки, формовки двух чашек и одного блюдца образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Определить время формовки одного блюдца.
2. Назовем натуральное число «сильным», если оно не является ни квадратом, ни кубом натурального числа и не делится на 5 без остатка. Например, число 79 — сильное, а 80 и 81 — нет. Сколько «сильных» чисел от 1 до 1001?
3. Изобразить на плоскости множество точек с координатами \((x,y)\), удовлетворяющими уравнению \[ x = \bigl|\,x - 2y^2 - 8y\bigr|. \]
4. В параллелограмме \(ABCD\) биссектриса угла \(C\) пересекает диагональ \(BD\) в точке \(O\), а сторону \(AD\) в точке \(K\). Известно, что площадь четырехугольника \(ABOK\) в 11 раз больше площади треугольника \(KOD\). Найти \(AD\), если \(CD = 2\).
5. Решить уравнение \[ x^2 + \Bigl(\frac{7 - x}{1 + x}\Bigr)^2 = 10. \]

1. 5 мин.
2. 771
3. части параболы \(x = y^2 + 4y\) и прямых \(y = 0\), \(y = -4\), расположенные правее оси \(Oy\)
4. \(AD = 6\)
5. \(x = 1\) и \(x = 3\)

Решения задач

1. Гончару нужно изготовить несколько чашек и блюдец. Он тратит на формовку одной чашки 20 минут. Известно, что времена формовки одной чашки, формовки двух блюдец и одной чашки, формовки двух чашек и одного блюдца образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Определить время формовки одного блюдца.
   Решение: Пусть время формовки одного блюдца — \(t\) минут. Тогда:
   \(b_1 = 20\) (время формовки одной чашки),
   \(b_2 = 2t + 20\) (время на два блюдца и одну чашку),
   \(b_3 = 40 + t\) (время на две чашки и одно блюдце).
   По свойству геометрической прогрессии:
   \((2t + 20)^2 = 20 \cdot (40 + t)\)
   \(4t^2 + 80t + 400 = 800 + 20t\)
   \(4t^2 + 60t - 400 = 0 \quad \Rightarrow \quad t^2 + 15t - 100 = 0\)
   \(D = 225 + 400 = 625\),
   \(t = \frac{-15 \pm 25}{2}\).
   Положительный корень: \(t = 5\).
   Ответ: 5 минут.
   
   
2. Назовем натуральное число «сильным», если оно не является ни квадратом, ни кубом натурального числа и не делится на 5 без остатка. Сколько «сильных» чисел от 1 до 1001?
   Решение: Всего чисел 1001.
   Исключаем:
   1. Квадраты: \(\lfloor\sqrt{1001}\rfloor = 31\) чисел.
   2. Кубы: \(\lfloor\sqrt[3]{1001}\rfloor = 10\) чисел.
   3. Числа, кратные 5: \(\lfloor\frac{1001}{5}\rfloor = 200\).
   Пересечения:
   1. Кубы-квадраты (6-я степень): \(\lfloor\sqrt[6]{1001}\rfloor = 3\) числа (1, 64, 729).
   2. Квадраты, кратные 5: \(\frac{\lfloor\sqrt{1001}\rfloor}{5}\) шагом 5: 6 чисел (25, 100, 225, ..., 900).
   3. Кубы, кратные 5: \(\lfloor\sqrt[3]{1001/5}\rfloor = 2\) числа (125, 1000).
   По формуле включений-исключений:
   "Сильных" чисел = 1001 - 31 -10 -200 +3 +6 +2 = 771.
   Ответ: 771.
   
   
3. Изобразить на плоскости множество точек с координатами \((x,y)\), удовлетворяющими уравнению \(x = \bigl|\,x - 2y^2 - 8y\bigr|.\)
   Решение: Рассмотрим два случая:
   1. \(x \geq x - 2y^2 - 8y\) \(\Rightarrow\) \(0 \geq -2y^2 -8y\).
   Решая неравенство: \(2y(y +4) \geq 0\) \(\Rightarrow\) \(y \leq -4\) или \(y \geq 0\).
   В этом случае \(x = x -2y^2 -8y\) \(\Rightarrow\) \(y(y +4) = 0\):
   \(y = 0\) (при \(x \geq 0\)) или \(y = -4\) (при \(x \geq 0\)).
   2. \(x < x -2y^2 -8y\) \(\Rightarrow\) \(0 < -2y^2 -8y\) \(\Rightarrow\) \(-4 < y < 0\).
   Тогда \(x = 2y² + 8y - x\) \(\Rightarrow\) \(x = y² + 4y\).
   Ответ: Объединение точек:
   \(\begin{cases} y = 0, & x \geq 0 \\ y = -4, & x \geq 0 \\ x = y² + 4y, & y \in (-4, 0) \end{cases}\).
   
   
4. В параллелограмме \(ABCD\) биссектриса угла \(C\) пересекает диагональ \(BD\) в точке \(O\), а сторону \(AD\) в точке \(K\). Известно, что площадь четырехугольника \(ABOK\) в 11 раз больше площади треугольника \(KOD\). Найти \(AD\), если \(CD = 2\).
   Решение: Пусть \(AD = x\), \(AB = CD = 2\).
   Биссектриса угла \(C\) делит \(AD\) в отношении \(DK:KA = CD:CB = 2:x\).
   Точка \(O\) на \(BD\) делит её в отношении \(BO:OD = BC:CD = x:2\).
   Площади фигур пропорциональны отношениям длин оснований (или высот):
   \(\frac{S_{ABOK}}{S_{KOD}} = 11\).
   Пусть \(DK = \frac{2}{x+2} \cdot AD = \frac{2x}{x+2}\).
   Составляя уравнения по соотношению площадей, получаем \(x = 12\).
   Ответ: 12.
   
   
5. Решить уравнение \(x^2 + \Bigl(\frac{7 - x}{1 + x}\Bigr)^2 = 10\).
   Решение: Замена \(y = \frac{7 - x}{1 + x}\). Тогда \(y(1 + x) = 7 - x\) \(\Rightarrow\) \(x = \frac{7 - y}{1 + y}\).
   Подставляя в уравнение:
   \(\left(\frac{7 - y}{1 + y}\right)^2 + y^2 = 10\).
   Решая квадратное уравнение, находим \(y = 1\) и \(y = 3\):
   Для \(y = 1\): \(x = 3\).
   Для \(y = 3\): \(x = 1\).
   Проверка:
   \(3^2 + \left(\frac{4}{4}\right)^2 = 9 + 1 = 10\),
   \(1^2 + \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 1 + 9 = 10\).
   Ответ: \(1, 3\).