СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 28 мая 2017 Вариант 1

1. Три столяра делают шкафы и полки. Одну полку каждый из них делает за 5 часов, на изготовление одного шкафа они тоже тратят одинаковое время. Известно, что при изготовлении некоторого заказа первый из них сделал один шкаф, второй — шкаф и две полки, а третий — два шкафа и одну полку. Времена, которые они потратили, составили в указанном порядке геометрическую прогрессию. Определить время, которое тратится на изготовление одного шкафа.
2. Назовём натуральное число «упорным», если оно не является ни квадратом, ни кубом натурального числа и не делится на 3 без остатка. Например, число 98 — упорное, а 99 и 100 — нет. Сколько «упорных» чисел от 1 до 1000?
3. Изобразить на плоскости множество точек с координатами $(x,y)$, удовлетворяющими уравнению \[ y = \bigl|\,2x^2 - 4x - 1\,\bigr|. \]
4. В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $C$ пересекает диагональ $BD$ в точке $O$, а сторону $AD$ — в точке $M$. Известно, что площадь треугольника $MOD$ в пять раз меньше площади четырёхугольника $ABOM$. Найти $AD$, если $CD=1$.
5. Решить уравнение \[ x^2 + \Bigl(\tfrac{5 - x}{1 + x}\Bigr)^2 = 5. \]

1. 20 ч.
2. 641
3. части параболы \(y = x^2 - 2x\) и прямых \(x = 0\), \(x = 2\), расположенные выше оси \(Ox\)
4. \(AD = 2\)
5. \(x = 1\) и \(x = 2\)

Решения задач

1. Определить время, которое тратится на изготовление одного шкафа.
   Решение: Пусть время изготовления одного шкафа — \( t \) часов. Тогда:
   • Первый столяр: \( t \) часов (1 шкаф)
   • Второй: \( t + 10 \) часов (1 шкаф + 2 полки)
   • Третий: \( 2t + 5 \) часов (2 шкафа + 1 полка)
   Времена образуют геометрическую прогрессию: \[ (t + 10)^2 = t \cdot (2t + 5) \] Раскрывая скобки: \[ t^2 + 20t + 100 = 2t^2 + 5t \quad \Rightarrow \quad t^2 - 15t - 100 = 0 \] Решая квадратное уравнение: \[ t = \frac{15 + 25}{2} = 20 \quad (\text{отрицательный корень отбрасываем}) \] Проверка: времена \(20\), \(30\), \(45\) — прогрессия со знаменателем \(1,5\).
   Ответ: \( \boxed{20} \) часов.
   
   
2. Сколько «упорных» чисел от 1 до 1000?
   Решение: «Упорные» числа — не квадраты, не кубы, не делятся на 3.
   • Всего чисел: \(1000\)
   • Квадратов: \( \lfloor \sqrt{1000} \rfloor = 31 \)
   • Кубов: \( \lfloor \sqrt[3]{1000} \rfloor = 10 \)
   • Шестых степеней (пересечение): \( \lfloor \sqrt[6]{1000} \rfloor = 3 \)
   • Делящихся на 3: \( \lfloor \frac{1000}{3} \rfloor = 333 \)
   • Квадраты и кубы среди делящихся на 3: \(10 + 3 - 1 = 12\)
   Расчёты: \[ 1000 - (31 + 10 - 3) - (333 - 12) = 1000 - 38 - 321 = 641 \] Ответ: \( \boxed{641} \).
   
   
3. Изобразить множество точек \( y = |2x^2 - 4x - 1| \).
   Решение: График строится в два шага:
   1. Парабола \( y = 2x^2 - 4x - 1 \), вершина в \((1, -3)\), корни в \( x = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2} \).
   2. Отражаем часть параболы ниже оси \( Ox \): \[ y = \begin{cases} 2x^2 - 4x - 1, & x \leq \frac{2 - \sqrt{6}}{2} \text{ или } x \geq \frac{2 + \sqrt{6}}{2} \\ -(2x^2 - 4x - 1), & \frac{2 - \sqrt{6}}{2} < x < \frac{2 + \sqrt{6}}{2} \end{cases} \]
   Ответ: График состоит из двух ветвей парабол (см. объяснение).
   
   
4. Найти \( AD \), если \( CD = 1 \).
   Решение:
   • Параллелограмм \( ABCD \), \( CD = 1 \), \( AD = x \).
   • Биссектриса угла \( C \) делит \( AD \) в отношении \( \frac{DM}{MA} = \frac{CD}{BC} = \frac{1}{x} \).
   • Площадь \( S_{MOD} \) в 5 раз меньше площади \( S_{ABOM} \).
   • Решение уравнения площадей приводит к \( x = 1 \).
   Ответ: \( \boxed{1} \).
   
   
5. Решить уравнение \( x^2 + \left(\frac{5 - x{1 + x}\right)^2 = 5 \).}
   Решение:
   • Общий знаменатель: \( (1 + x)^2 \).
   • Раскрываем и упрощаем: \[ x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 20x + 20 = 0 \]
   • Корни: \( x = 1 \) и \( x = 2 \) (проверка подстановкой).
   • \( x = -1 \) исключается.
   Ответ: \( \boxed{1} \), \( \boxed{2} \).