СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2016 год вариант 2

1. Трактор приехал из пункта \(A\) в пункт \(B\), находящийся на расстоянии 40 км от пункта \(A\). Его скорость была на 1 км/ч меньше обычной, поэтому он приехал на 4 минуты позже, чем планировалось. С какой скоростью ехал трактор?
2. Решить уравнение \[ x\lvert x\rvert - 3x - 2 = 0. \]
3. В геометрической прогрессии \(a_1,a_2,\dots,a_{4032}\) произведение членов с нечётными номерами в \(3^{2016}\) раз меньше произведения членов с чётными номерами. Найдите знаменатель этой прогрессии.
4. В остроугольном треугольнике \(MNP\) угол \(P\) равен \(78^\circ\). Найдите угол \(NMO\), где \(O\) — центр окружности, описанной около треугольника \(MNP\).
5. Корни квадратного уравнения \(x^2 + px + q = 0\) являются целыми числами. Найти \(p\) и \(q\), если \(p + q = 108\).

Решения задач

1. Трактор приехал из пункта \(A\) в пункт \(B\), находящийся на расстоянии 40 км от пункта \(A\). Его скорость была на 1 км/ч меньше обычной, поэтому он приехал на 4 минуты позже, чем планировалось. С какой скоростью ехал трактор?
   Решение: Пусть обычная скорость трактора \(v\) км/ч, тогда фактическая скорость \(v - 1\) км/ч. Время движения при обычной скорости \(\frac{40}{v}\) часов, при фактической \(\frac{40}{v - 1}\) часов. Разница во времени:
   \(\frac{40}{v - 1} - \frac{40}{v} = \frac{4}{60}\)
   Умножаем обе части на \(60v(v - 1)\):
   \(40 \cdot 60(v - (v - 1)) = 4v(v - 1)\)
   \(2400 = 4v^2 - 4v\)
   \(4v^2 - 4v - 2400 = 0\)
   \(v^2 - v - 600 = 0\)
   \(D = 1 + 2400 = 2401 = 49^2\)
   \(v = \frac{1 \pm 49}{2}\). Положительный корень \(v = 25\) км/ч. Фактическая скорость \(24\) км/ч.
   Ответ: \(24\) км/ч.
2. Решить уравнение \[ x\lvert x\rvert - 3x - 2 = 0. \]
   Решение: Рассмотрим два случая:
   Случай 1: \(x \geq 0\). Уравнение принимает вид:
   \(x^2 - 3x - 2 = 0\)
   \(D = 9 + 8 = 17\)
   \(x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\). Подходит \(x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}\).
   Случай 2: \(x < 0\). Уравнение принимает вид:
   \(-x^2 - 3x - 2 = 0 \Rightarrow x^2 + 3x + 2 = 0\)
   Корни \(x = -1\) и \(x = -2\). Оба удовлетворяют условию.
   Ответ: \(\frac{3 + \sqrt{17}}{2}\), \(-1\), \(-2\).
3. В геометрической прогрессии \(a_1,a_2,\dots,a_{4032}\) произведение членов с нечётными номерами в \(3^{2016}\) раз меньше произведения членов с чётными номерами. Найдите знаменатель этой прогрессии.
   Решение: Пусть знаменатель прогрессии \(q\). Произведение нечётных членов:
   \(P_{\text{неч}} = a_1 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_{4031} = a_1^{2016} \cdot q^{2015 \cdot 2016}\)
   Произведение чётных членов:
   \(P_{\text{чёт}} = a_2 \cdot a_4 \cdot \ldots \cdot a_{4032} = a_1^{2016} \cdot q^{2016^2}\)
   По условию:
   \(\frac{P_{\text{чёт}}}{P_{\text{неч}}} = 3^{2016} \Rightarrow q^{2016} = 3^{2016} \Rightarrow q = 3\).
   Ответ: \(3\).
4. В остроугольном треугольнике \(MNP\) угол \(P\) равен \(78^\circ\). Найдите угол \(NMO\), где \(O\) — центр окружности, описанной около треугольника \(MNP\).
   Решение: Центральный угол \(\angle MON = 2 \angle MPN = 2 \cdot 78^\circ = 156^\circ\). В равнобедренном треугольнике \(NMO\):
   \(\angle NMO = \frac{180^\circ - 156^\circ}{2} = 12^\circ\).
   Ответ: \(12^\circ\).
5. Корни квадратного уравнения \(x^2 + px + q = 0\) являются целыми числами. Найти \(p\) и \(q\), если \(p + q = 108\).
   Решение: Пусть корни \(m\) и \(n\). По Виету:
   \(m + n = -p\), \(mn = q\). Условие \(p + q = 108\):
   \(-m - n + mn = 108 \Rightarrow (m - 1)(n - 1) = 109\).
   \(109\) — простое число. Варианты:
   \((m - 1, n - 1) = (1, 109)\), \((109, 1)\), \((-1, -109)\), \((-109, -1)\).
   Соответствующие пары \((p, q)\):
   \((m, n) = (2, 110)\): \(p = -112\), \(q = 220\);
   \((m, n) = (0, -108)\): \(p = 108\), \(q = 0\).
   Ответ: \((p, q) = (-112, 220)\) или \((108, 0)\).