СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2014 год вариант 2
Печать
youit.school ©
Физико-математическое отделение. Апрель 2014.
Письменная работа по математике для поступающих в 10 класс.
Продолжительность экзамена 120 минут.
Вариант 2
Письменная работа по математике для поступающих в 10 класс.
Продолжительность экзамена 120 минут.
Вариант 2
- Различные действительные числа $x$ и $y$ таковы, что
\[
\frac{x}{y} - 3x \;=\;\frac{y}{x} - 3y.
\]
Чему равно выражение
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y}?
\]
- Произведение цифр двузначного натурального числа больше суммы цифр на 7.
Найти все такие числа.
- Решить систему уравнений
\[
\begin{cases}
x\,y\,(x - y) = -12,\\
x^3 - y^3 = 28.
\end{cases}
\]
- В трапеции $MTKN$ с основаниями $MN$ и $KT$ перпендикуляр из вершины угла $T$
пересекает сторону $NK$ в точке $P$ и делит её на отрезки, один из которых в 5 раз больше другого.
Известно, что
\[
\angle MTP = \angle KTP.
\]
Найти площадь четырёхугольника $MNPT$, если площадь трапеции равна 42.
- Найти все такие пары чисел $(x,y)$, что выражение \[ \sqrt{(x-4)^2 + (y-3)^2} +\sqrt{x^2 + (y+1)^2} +\sqrt{(x+2)^2 + (y-3)^2} +\sqrt{(x-6)^2 + (y+1)^2} \] принимает минимальное значение.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Ответы. Вариант 2
- 3.
- 29; 35; 53; 92.
- $(3; -1)$ и $(1; -3)$.
- 17.
- $(2; 1)$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Различные действительные числа $x$ и $y$ таковы, что
\[
\frac{x}{y} - 3x = \frac{y}{x} - 3y.
\]
Найти выражение:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y}.
\]
Решение: Умножим уравнение на $xy$: \[ x^2 - 3x^2y = y^2 - 3xy^2. \] Перепишем: \[ x^2 - y^2 = 3xy^2 - 3x^2y \implies (x - y)(x + y) = 3xy(y - x). \] Так как $x \neq y$, сократим обе части на $(x - y)$: \[ x + y = -3xy. \] Тогда: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy} = \frac{-3xy}{xy} = -3. \] Ответ: $-3$.
- Найти все двузначные числа, где произведение цифр превышает сумму на 7.
Решение: Пусть число $10a + b$. Условие: \[ ab = a + b + 7 \implies (a-1)(b-1) = 8. \] Разложим 8 на множители: $(1,8)$, $(2,4)$, $(4,2)$, $(8,1)$.
Получаем числа: $29$, $35$, $53$, $92$.
Ответ: $29$, $35$, $53$, $92$.
- Решить систему:
\[
\begin{cases}
xy(x - y) = -12, \\
x^3 - y^3 = 28.
\end{cases}
\]
Решение: Второе уравнение: \[ (x - y)(x^2 + xy + y^2) = 28. \] Первое уравнение: \[ (x - y)xy = -12. \] Деление второго на первое: \[ \frac{x^2 + xy + y^2}{xy} = -\frac{7}{3} \implies x^2 + xy + y^2 = -7xy/3. \] Решим уравнение: \[ 3x^2 + 10xy + 3y^2 = 0 \implies x = -3y \text{ или } x = -y/3. \] Подстановка в первое уравнение:- $x = -y/3$: $(-y/3)(y)(-4y/3) = -12 \implies y = -3$, тогда $x = 1$.
- $x = -3y$: $(-3y)(y)(-4y) = -12 \implies y = -1$, тогда $x = 3$.
- Найти площадь четырёхугольника $MNPT$ в трапеции $MTKN$.
Решение: Из условия $PN:PK = 1:5$ и свойств биссектрисы, трапеция делится на части с соотношением площадей 5:1. Площадь трапеции 42, тогда площадь $MNPT$: \[ S = \frac{5}{6} \cdot 42 = 35. \] Ответ: $35$.
- Найти пары $(x, y)$, минимизирующие выражение:
\[
\sqrt{(x-4)^2 + (y-3)^2} + \sqrt{x^2 + (y+1)^2} + \sqrt{(x+2)^2 + (y-3)^2} + \sqrt{(x-6)^2 + (y+1)^2}.
\]
Решение: Минимум достигается в центре прямоугольника с вершинами $(4,3)$, $(0,-1)$, $(-2,3)$, $(6,-1)$. Центр: \[ x = \frac{4 + (-2) + 0 + 6}{4} = 2, \quad y = \frac{3 + (-1) + 3 + (-1)}{4} = 1. \] Ответ: $(2, 1)$.
Материалы школы Юайти