СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2014 год вариант 1

1. Различные действительные числа $x$ и $y$ таковы, что \[ \frac{x}{y} + 2x = \frac{y}{x} + 2y. \] Чему равно выражение \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y}? \]
   
   
2. Произведение цифр двузначного натурального числа больше суммы цифр на 5. Найти все такие числа.
   
   
3. Решить систему уравнений \[ \begin{cases} x y (x+y) = 30,\\ x^3 + y^3 = 35. \end{cases} \]
   
   
4. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ биссектриса острого угла $B$ перпендикулярна стороне $CD$, пересекает ее в точке $E$, и делит ее на отрезки $DE$ и $EC$, один из которых в четыре раза больше другого. Найти площадь трапеции, если площадь четырёхугольника $ABED$ равна 23.
   
   
5. Найти все такие пары чисел $(x,y)$, что выражение \[ \sqrt{(x-2)^2 + y^2} + \sqrt{x^2 + (y-4)^2} + \sqrt{(x-4)^2 + (y-3)^2} + \sqrt{(x+2)^2 + (y-1)^2} \] принимает минимальное значение.

1. $-2$.
2. $27,\;34,\;72,\;43$.
3. $(2;3)$ и $(3;2)$.
4. $55$.
5. $(1;2)$

Решения задач

1. Различные действительные числа $x$ и $y$ таковы, что \[ \frac{x}{y} + 2x = \frac{y}{x} + 2y. \] Чему равно выражение $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$?
   Решение:
   Преобразуем исходное уравнение: \[ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} + 2x - 2y = 0 \implies \frac{x^2 - y^2}{xy} + 2(x - y) = 0 \implies (x - y)\left(\frac{x + y}{xy} + 2 \right) = 0. \] Т.к. $x \neq y$, получаем: \[ \frac{x + y}{xy} + 2 = 0 \implies \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -2. \] Ответ: $-2$.
   
   
2. Произведение цифр двузначного натурального числа больше суммы цифр на 5. Найти все такие числа.
   Решение:
   Пусть число имеет вид $\overline{ab} = 10a + b$. Условие задачи: \[ ab = a + b + 5 \implies ab - a - b = 5 \implies (a - 1)(b - 1) = 6. \] Возможные варианты: \[ (a - 1, b - 1) \in \{(1, 6), (6, 1), (2, 3), (3, 2)\} \implies (a, b) \in \{(2, 7), (7, 2), (3, 4), (4, 3)\}. \] Искомые числа: $27$, $34$, $43$, $72$.
   Ответ: $27$, $34$, $43$, $72$.
   
   
3. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} x y (x+y) = 30,\\ x^3 + y^3 = 35. \end{cases} \]
   Решение:
   Из формулы суммы кубов: \[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 35. \] Пусть $S = x + y$, $P = xy$. Первое уравнение системы: \[ P \cdot S = 30. \] Из суммы кубов: \[ S(S^2 - 3P) = 35 \implies S^3 - 3 \cdot \frac{30}{S} \cdot S = 35 \implies S^3 = 35 + 90 \implies S = \sqrt[3]{125} = 5. \] Тогда $P = \frac{30}{5} = 6$. Решаем квадратное уравнение: \[ t^2 - 5t + 6 = 0 \implies t = 2,\,3. \] Решения: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.
   Ответ: $(2, 3)$, $(3, 2)$.
   
   
4. В трапеции $ABCD$ биссектриса угла $B$ перпендикулярна $CD$, делит её на отрезки $DE:EC = 4:1$, площадь $ABED$ равна $23$. Найти площадь трапеции.
   Решение:
   Используя теорему о биссектрисе в трапеции, соотношения $DE:EC = 4:1$ даёт отношение оснований $AD:BC = 4:1$. Пусть $BC = a$, $AD = 4a$. Площадь ABED составляет $\frac{5}{4}$ части трапеции: \[ S = 23 \cdot \frac{5}{4} \cdot 4 = 23 \cdot 5 = 115. \] Ответ: $115$.
   
   
5. Найти точки минимума выражения: \[ \sqrt{(x-2)^2 + y^2} + \sqrt{x^2 + (y-4)^2} + \sqrt{(x-4)^2 + (y-3)^2} + \sqrt{(x+2)^2 + (y-1)^2}. \]
   Решение: Сумма расстояний от точки $(x, y)$ до четырёх точек $(2, 0)$, $(0, 4)$, $(4, 3)$, $(-2, 1)$. Минимум достигается в точке $(1, 2)$ как центре масс данных точек: \[ x = \frac{2 + 0 + 4 - 2}{4} = 1, \quad y = \frac{0 + 4 + 3 + 1}{4} = 2. \] Ответ: $(1, 2)$.