СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2017 год вариант 2

1. Коля бегает по круговой дорожке, а Катя катается по ней на самокате в том же направлении. Катя проезжает круг на 5 секунд быстрее, чем Коля его пробегает, и Катя обгоняет Колю через каждые 3,5 минуты. За сколько времени Катя проезжает круг, и за сколько времени Коля его пробегает?
2. Найдите наименьшее натуральное \(k\), такое, что \(65!\) не кратно \(k\).
3. В арифметической прогрессии, содержащей 60 членов, сумма членов с нечётными номерами равна 44, а сумма членов с чётными номерами равна 54. Найдите сумму членов прогрессии, номера которых кратны 4.
4. В треугольнике \(ABC\) точка \(M\)~– середина стороны \(BC\), равной 4. Известно, что расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\) в два раза больше расстояния от точки \(M\) до прямой \(AC\). Найдите остальные стороны треугольника, если известно, что \(\cos A = \tfrac14\).
5. Дан квадратный трёхчлен \(f(x)=x^2 - bx + 1\). Известно, что уравнение \(f(f(x))=0\) имеет 4 различных действительных корня, сумма которых равна 1001. Найдите \(b\).

1. Катя за 30 сек., Коля за 35 сек.
2. 67
3. 32
4. $AB = 2$, $AC = 4$
5. $b = \dfrac{2001}{2}$

Решения задач

1. Коля бегает по круговой дорожке, а Катя катается на самокате в том же направлении. Катя обгоняет Колю каждые 3,5 минуты. За сколько времени Катя проезжает круг, и за сколько времени Коля его пробегает?
   Решение: Пусть время пробега круга Колей — \(t\) секунд, тогда Катя проезжает круг за \(t - 5\) секунд. Скорость Коли — \(\frac{1}{t}\), Кати — \(\frac{1}{t - 5}\). За 3,5 минуты (210 секунд) разность пройденных расстояний равна кругу: \[ \left(\frac{1}{t - 5} - \frac{1}{t}\right) \cdot 210 = 1 \implies \frac{5}{t(t - 5)} \cdot 210 = 1 \implies t(t - 5) = 1050 \] Решаем уравнение: \[ t^2 - 5t - 1050 = 0 \implies D = 4225 \implies t = \frac{5 + 65}{2} = 35 \text{ сек.} \] Катя: \(35 - 5 = 30\) сек.
   Ответ: Катя — 30 сек., Коля — 35 сек.
   
   
2. Найдите наименьшее натуральное \(k\), такое, что \(65!\) не кратно \(k\).
   Решение: Наименьшее простое число, большее 65 — 67. Так как \(65!\) не содержит множителя 67, наименьшее \(k = 67\).
   Ответ: 67.
   
   
3. В арифметической прогрессии с 60 членами сумма нечётных членов равна 44, чётных — 54. Найдите сумму членов, номера которых кратны 4.
   Решение: Для членов с нечётными номерами: \[ S_{\text{неч}} = \frac{30}{2}(2a_1 + 29 \cdot 2d) = 44 \implies a_1 + 29d = \frac{44}{30} \] Для чётных: \[ S_{\text{чёт}} = \frac{30}{2}(2(a_1 + d) + 29 \cdot 2d) = 54 \implies a_1 + 30d = \frac{54}{30} \] Из системы: \[ \begin{cases} a_1 + 29d = \frac{44}{30} \\ a_1 + 30d = \frac{54}{30} \end{cases} \implies d = \frac{1}{3}, \quad a_1 = -\frac{41}{5} \] Сумма членов с номерами, кратными 4: \[ S = \frac{15}{2}\left(2\left(a_1 + 3d\right) + 14 \cdot 4d\right) = 32 \] Ответ: 32.
   
   
4. В треугольнике \(ABC\) с \(BC = 4\) и \(\cos A = \tfrac{1}{4}\), расстояние от середины \(M\) до \(AB\) вдвое больше расстояния до \(AC\). Найдите другие стороны.
   Решение: Пусть расстояние от \(M\) до \(AB\) — \(2h\), до \(AC\) — \(h\). Из равенства площадей треугольников \(ABM\) и \(AMC\): \[ AB \cdot 2h = AC \cdot h \implies AC = 2AB \] По теореме косинусов: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos A \implies 16 = AB^2 + 4AB^2 - AB^2 = 4AB^2 \implies AB = 2, \quad AC = 4 \] Ответ: \(AB = 2\), \(AC = 4\).
   
   
5. Для трёхчлена \(f(x) = x^2 - bx + 1\) уравнение \(f(f(x)) = 0\) имеет корни с суммой 1001. Найдите \(b\).
   Решение: Уравнение \(f(f(x)) = 0\) эквивалентно \(f(x) = y_1\) и \(f(x) = y_2\), где \(y_{1,2} = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - 4}}{2}\). Сумма корней каждого уравнения \(x^2 - bx + 1 - y_i = 0\) равна \(b\). Общая сумма: \(2b = 1001 \implies b = \frac{1001}{2}\).
   Ответ: \(\frac{1001}{2}\).