СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2017 год вариант 1

1. Вася и Петя бегают по круговой дорожке в одном направлении. Вася пробегает один круг за 3 секунды быстрее и обгоняет Петю раз в полторы минуты. За сколько времени пробегает круг каждый из мальчиков?
2. Найдите наименьшее натуральное \(N\), такое, что \(59!\) не кратно \(N\).
3. В арифметической прогрессии, содержащей 30 членов, сумма членов с нечетными номерами равна 22, а сумма членов с четными номерами равна 27. Найдите сумму членов, номера которых кратны 3.
4. В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) — середина стороны \(BC\), равной 6. Известно, что расстояние от точки \(M\) до прямой \(AB\) в три раза больше расстояния от точки \(M\) до прямой \(AC\). Найдите остальные стороны треугольника, если известно, что \(\cos A = \tfrac{1}{6}\).
5. Дан квадратный трехчлен \(P(x)=x^2 - p x + 1\). Известно, что уравнение \(P(P(x))=0\) имеет 4 различных действительных корня, сумма которых равна 2017. Найдите \(p\).

1. Вася за 15~сек., Петя за 18~сек.
2. 61
3. \(\displaystyle \frac{59}{3}\)
4. \(AB = 2,\; AC = 6\)
5. \(p = \displaystyle \frac{2017}{2}\)

Решения задач

1. Пусть Петя пробегает круг за \( t \) секунд, тогда Вася — за \( t - 3 \) секунд. Относительная скорость Васи составляет \( \frac{1}{t - 3} - \frac{1}{t} \) кругов в секунду. Условие обгона раз в 90 секунд даёт уравнение:
   \(\left(\frac{1}{t - 3} - \frac{1}{t}\right) \cdot 90 = 1\).
   Решая: \(\frac{90 \cdot 3}{(t - 3)t} = 1 \implies t^2 - 3t - 270 = 0\).
   Корни: \( t = 18 \) сек (Петя), \( t - 3 = 15 \) сек (Вася).
   Ответ: 15 сек и 18 сек.
2. Наименьшее \( N \) — это наименьшее простое число в степени, превышающей его вхождение в \( 59! \). Максимальная степень 2 в \( 59! \): \(\left\lfloor\frac{59}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{59}{4}\right\rfloor + ... = 57\). Аналогично проверяем следующие простые числа. Минимальное \( N = 2^{57} \), но \( 2^{57} \) делит 59!. Следующее — \( 59 \): в \( 59! \) оно встречается 1 раз. Тогда \( N = 59^2 = 3481 \), так как \( 59 \) в степени 2 уже не присутствует в факторизации.
   Ответ: 3481.
3. Запишем прогрессию: \( a_1, a_1 + d, ..., a_1 + 29d \). Суммы:
   Нечетные члены: \( 15a_1 + 210d = 22 \). Четные члены: \( 15a_1 + 225d = 27 \). Вычитая уравнения: \( 15d = 5 \implies d = \frac{1}{3} \), \( a_1 = -\frac{16}{15} \). Члены с номерами кратными 3: \( a_3, a_6, ..., a_{30} \). Формула суммы: \( 10a_1 + 135d = -\frac{160}{15} + 45 = \frac{95}{3} \).
   Ответ: \( \frac{95}{3} \).
4. В координатах: \( B(-3, 0) \), \( C(3, 0) \), \( M(0, 0) \). Пусть \( A(x, y) \) с \( \cos A = \frac{1}{6} \). Условие расстояний от \( M \) до \( AB \) и \( AC \): \(\frac{|x + 3y|}{\sqrt{(x + 3)^2 + y^2}} = 3 \cdot \frac{|x - 3y|}{\sqrt{(x - 3)^2 + y^2}}\).
   Решая с \( \cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}||\vec{AC}|} = \frac{1}{6} \), находим стороны \( AB = 3\sqrt{2} \), \( AC = 9\sqrt{2} \).
   Ответ: \( AB = 3\sqrt{2} \), \( AC = 9\sqrt{2} \).
5. Решаем \( P(P(x)) = 0 \). Корни удовлетворяют \( P(x) = \frac{p \pm \sqrt{p^2 - 4}}{2} \). Сумма всех корней уравнения \( P(P(x)) = 0 \) равна \( 2p + 2p = 4p \). По условию \( 4p = 2017 \implies p = \frac{2017}{4} \).
   Ответ: \( \frac{2017}{4} \).