СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2023 год вариант 1

1. В сосуд с 10%-м раствором кислоты добавили стакан воды и хорошо перемешали содержимое. Повторив эту операцию ещё два раза, получили в итоге 5%-й раствор кислоты. Какова была концентрация кислоты после самой первой операции?
2. Сумма членов арифметической прогрессии с 1-го по 11-й равна сумме её членов с 12-го по 20-й, а сумма её 1-го, 9-го и 17-го членов равна 18. Найдите 9-й и 17-й члены этой прогрессии.
3. Решите уравнение \[ \sqrt{x + 22} \;+\; \sqrt{x - 22} \;=\; 22. \]
4. Найдите все возможные значения остатка от деления на 9:
   1. куба натурального числа;
   2. суммы кубов трёх подряд идущих натуральных чисел.
5. В восьмиугольнике \(ABCDEFGH\) выполнены равенства \[ \angle A = \angle C = \angle E = \angle G = 90^\circ, \quad HA = AB = DE = EF = 4, \quad BC = CD = FG = GH = 5. \] Найдите:
   1. угол между диагоналями \(BF\) и \(DH\);
   2. угол между диагоналями \(AC\) и \(CE\);
   3. максимальную площадь такого восьмиугольника.

Решения задач

1. В сосуд с 10%-м раствором кислоты добавили стакан воды и хорошо перемешали содержимое. Повторив эту операцию ещё два раза, получили в итоге 5%-й раствор кислоты. Какова была концентрация кислоты после самой первой операции?
   Решение: Пусть исходный объём раствора равен $V$, а объём стакана воды $S$. После первого добавления концентрация стала:
   $c_1 = \frac{0,1V}{V + S} = \frac{0,1}{1 + \frac{S}{V}}$
   После второго добавления:
   $c_2 = \frac{c_1(V + S)}{V + 2S} = \frac{0,1}{(1 + \frac{S}{V})^2}$
   После третьего добавления:
   $c_3 = \frac{0,1}{(1 + \frac{S}{V})^3} = 0,05$
   Решая уравнение:
   $(1 + \frac{S}{V})^3 = 2 \Rightarrow 1 + \frac{S}{V} = \sqrt[3]{2}$
   Тогда после первой операции концентрация:
   $c_1 = \frac{0,1}{\sqrt[3]{2}} \approx 0,0794$ или $7,94\%$
   Ответ: $\frac{10}{\sqrt[3]{2}}% \approx 7,94\%$.
   
   
2. Сумма членов арифметической прогрессии с 1-го по 11-й равна сумме её членов с 12-го по 20-й, а сумма её 1-го, 9-го и 17-го членов равна 18. Найдите 9-й и 17-й члены этой прогрессии.
   Решение: Пусть $a_1$ — первый член, $d$ — разность. Сумма первых 11 членов:
   $S_{11} = \frac{2a_1 + 10d}{2} \cdot 11 = 11(a_1 + 5d)$
   Сумма членов с 12 по 20:
   $S_{20} - S_{11} = \frac{2a_1 + 19d}{2} \cdot 20 - 11(a_1 + 5d) = 10(2a_1 + 19d) - 11a_1 - 55d = 9a_1 + 135d$
   По условию $11(a_1 + 5d) = 9a_1 + 135d \Rightarrow 2a_1 = 80d \Rightarrow a_1 = 40d$
   Сумма 1-го, 9-го и 17-го членов:
   $a_1 + (a_1 + 8d) + (a_1 + 16d) = 3a_1 + 24d = 18$
   Подставляя $a_1 = 40d$:
   $120d + 24d = 144d = 18 \Rightarrow d = \frac{1}{8}$
   Тогда $a_9 = a_1 + 8d = 40d + 8d = 48d = 6$, $a_{17} = a_1 + 16d = 40d + 16d = 56d = 7$
   Ответ: 9-й член — 6, 17-й член — 7.
   
   
3. Решите уравнение \[ \sqrt{x + 22} \;+\; \sqrt{x - 22} \;=\; 22. \] Решение: Возведём обе части в квадрат:
   $x + 22 + x - 22 + 2\sqrt{(x + 22)(x - 22)} = 484$
   Упростим:
   $2x + 2\sqrt{x^2 - 484} = 484 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 484} = 242 - x$
   Возведём в квадрат ещё раз:
   $x^2 - 484 = 242^2 - 484x + x^2$
   Сократим $x^2$:
   $-484 = 58564 - 484x \Rightarrow 484x = 59048 \Rightarrow x = \frac{59048}{484} = 122$
   Проверка: $\sqrt{122 + 22} + \sqrt{122 - 22} = \sqrt{144} + \sqrt{100} = 12 + 10 = 22$ — верно.
   Ответ: 122.
   
   
4. Найдите все возможные значения остатка от деления на 9:
   1. куба натурального числа;
      Решение: Рассмотрим остатки $n \mod 9$: 0,1,2,3,4,5,6,7,8. Вычислим их кубы:
      $0^3 \equiv 0$, $1^3 \equiv 1$, $2^3 \equiv 8$, $3^3 \equiv 0$, $4^3 \equiv 1$, $5^3 \equiv 8$, $6^3 \equiv 0$, $7^3 \equiv 1$, $8^3 \equiv 8 \mod 9$
      Ответ: 0, 1, 8.
      
      
   2. суммы кубов трёх подряд идущих натуральных чисел.
      Решение: Пусть числа $n$, $n+1$, $n+2$. Их сумма кубов:
      $n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 = 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9$
      Рассмотрим выражение по модулю 9:
      $3n^3 + 9n^2 + 15n + 9 \equiv 3n^3 + 6n \mod 9$
      Из предыдущего пункта $n^3 \equiv 0,1,8 \mod 9$. Подставляя:
      • $n^3 \equiv 0$: $3\cdot0 + 6n \equiv 6n \mod 9$ — возможные остатки 0,3,6
      • $n^3 \equiv 1$: $3 + 6n \mod 9$
      • $n^3 \equiv 8$: $24 + 6n \equiv 6 + 6n \mod 9$
      Перебором остатков $n \mod 3$ получаем все возможные остатки: 0,3,6.
      Ответ: 0, 3, 6.
   
   
   
5. В восьмиугольнике \(ABCDEFGH\) выполнены равенства \[ \angle A = \angle C = \angle E = \angle G = 90^\circ, \quad HA = AB = DE = EF = 4, \quad BC = CD = FG = GH = 5. \] Найдите:
   1. угол между диагоналями \(BF\) и \(DH\);
      Решение: Построим координаты вершин. Пусть точка A(0,0). Тогда:
      AB = 4 → B(4,0); BC = 5 → C(4,5); CD = 5 → D(4,10); DE = 4 → E(0,10); EF = 4 → F(-4,10); FG = 5 → G(-4,5); GH = 5 → H(-4,0); HA = 4 → A(0,0).
      Векторы:
      $\vec{BF} = F - B = (-8,10)$
      $\vec{DH} = H - D = (-8,-10)$
      Угол между векторами:
      $\cos \theta = \frac{(-8)(-8) + 10(-10)}{\sqrt{(-8)^2 + 10^2} \cdot \sqrt{(-8)^2 + (-10)^2}} = \frac{64 - 100}{164} = -\frac{36}{164} = -\frac{9}{41}$
      Ответ: $\arccos\left(-\frac{9}{41}\right) \approx 102,5^\circ$.
      
      
   2. угол между диагоналями \(AC\) и \(CE\);
      Решение: Координаты точек:
      A(0,0), C(4,5), E(0,10)
      Векторы:
      $\vec{AC} = (4,5)$, $\vec{CE} = (-4,5)$
      $\cos \theta = \frac{4(-4) + 5 \cdot 5}{\sqrt{4^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-4)^2 + 5^2}} = \frac{-16 + 25}{41} = \frac{9}{41}$
      Ответ: $\arccos\left(\frac{9}{41}\right) \approx 77,5^\circ$.
      
      
   3. максимальную площадь такого восьмиугольника.
      Решение: Площадь восьмиугольника можно представить как сумму площадей прямоугольников и трапеций. При заданных длинах сторон максимальная площадь достигается, когда все углы прямые и фигура симметрична. Вычисляем площадь построенной фигуры:
      Площадь = 4×5 + 5×5 + 4×5 + 5×5 + 4×5 + 5×5 + 4×5 + 5×5 = 4×(4×5) + 4×(5×5) = 80 + 100 = 180
      Ответ: 180.