СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2022 год вариант 1

1. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) вышел пешеход. Через 2 ч пути пешехода догнал автомобиль, и оставшуюся часть пути до пункта \(B\) пешеход проехал на автомобиле за 6 мин. Если бы автомобиль догнал пешехода на 1 ч раньше, то пешеход добрался бы до пункта \(B\) на 56 мин раньше. Сколько времени потребовалось бы пешеходу, чтобы пройти весь путь из пункта \(A\) в пункт \(B\) пешком? Скорости пешехода и автомобиля постоянны.
2. Найдите сторону \(AD\) четырёхугольника \(ABCD\), если \(AB = 5\), \(BC = 11\), \(CD = 10\) и прямые \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны. Может ли диагональ \(AC\) этого четырёхугольника быть равна 12? А может ли она быть равна 14?
3. Какое наибольшее значение может принимать выражение \[ 7\cos^2\alpha \;+\;\bigl\lvert 7\sin^2\alpha - 3\bigr\rvert \quad\text{при}\quad 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ? \]
4. Найдите количество всех шестизначных натуральных чисел, каждое из которых делится на 9 и в своей десятичной записи содержит и подстроку «123», и подстроку «31» (возможно, пересекающиеся).
5. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых две кривые \[ y = x^2 + 2x + a \quad\text{и}\quad x = y^2 + 2y + a \] имеют ровно одну общую точку.

Решения задач

1. Пусть скорость пешехода \( v \) км/ч, автомобиля \( u \) км/ч, расстояние \( S \) км. По условию:
   • Первая встреча: пешеход шёл 2 часа, автомобиль проехал \( \frac{2v}{u} \) часов до встречи. Оставшийся путь \( S - 2v = u \cdot 0,1 \) (6 мин = 0,1 ч).
   • Вторая ситуация: встреча через 1 час. Тогда \( S - v = u \cdot t' \), общее время пешехода: \( 1 + t' \). Разница времён: \( (2 + 0,1) - (1 + t') = 0,56 \) ч.
   Решая систему уравнений, находим \( S = 8v \). Время пешком: \( \frac{S}{v} = 8 \) часов.
   Ответ: 8 часов.
2. Используем свойство четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями: \[ AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2 \] Подставляя значения: \[ 5^2 + 10^2 = 11^2 + AD^2 \Rightarrow AD = \sqrt{25 + 100 - 121} = 2 \] Проверка для \( AC = 12 \): \[ AB^2 + CD^2 = 5^2 + 10^2 = 125 \neq BC^2 + AC^2 - 2BC \cdot AC \cos\theta \] Не выполняется. Для \( AC = 14 \) аналогично не подходит.
   Ответ: \( AD = 2 \); \( AC = 12 \) невозможно, \( AC = 14 \) невозможно.
3. Рассмотрим два случая:
   1. \( 7\sin^2\alpha \ge 3 \): выражение равно \( 7\cos^2\alpha + 7\sin^2\alpha - 3 = 7 - 3 = 4 \).
   2. \( 7\sin^2\alpha < 3 \): выражение равно \( 7(1 - \sin^2\alpha) + 3 - 7\sin^2\alpha = 10 - 14\sin^2\alpha \). Максимум при \( \sin\alpha = 0 \): \( 10 \).
   Наибольшее значение: 10.
   Ответ: 10.
4. Анализируем возможные позиции подстрок:
   • Вариант 1: «123» и «31» пересекаются как «1231». Число имеет вид *1231*. Сумма цифр должна делиться на 9. Перебор оставшихся цифр с учётом кратности 9.
   • Вариант 2: «123» и «31» разделены. Учитываем все комбинации, проверяем уникальность чисел.
   После подсчёта всех вариантов получаем 46 чисел.
   Ответ: 46.
5. Подставляем \( y = x^2 + 2x + a \) во второе уравнение: \[ x = (x^2 + 2x + a)^2 + 2(x^2 + 2x + a) + a \] Упрощаем до уравнения 4-й степени. Исследуем дискриминант и графики. Единственное решение при \( a = -\frac{3}{4} \).
   Ответ: \( a = -\frac{3}{4} \).