СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2018 год вариант 8

1. Два велосипедиста ехали по шоссе со скоростью $20\ \mathrm{км/ч}$ на расстоянии $200\ \mathrm{м}$ друг от друга. Потом они какое-то время поднимались в горку со скоростью $5\ \mathrm{км/ч}$, после чего спускались с горки со скоростью $30\ \mathrm{км/ч}$. Какое расстояние было между велосипедистами, когда они оба спускались с горки?
2. Решите уравнение \[ \lvert 2x + 7\rvert = \lvert x - 1\rvert. \]
3. Расстояние от середины одной боковой стороны трапеции до прямой, содержащей другую её боковую сторону длины $4$, равно $7$. Найдите площадь этой трапеции.
4. Вычислите \[ \sqrt{\underbrace{4444\ldots4}_{2018} \;-\;\underbrace{88\ldots8}_{1009}}. \]
5. При каких значениях параметра $a$ один корень уравнения \[ x^2 - a^2 x + 1 - 2a = 0 \] лежит на интервале $(-1,0)$, а другой — на интервале $(0,1)$?

1. $300\ \mathrm{м}$
2. $\{-2;-8\}$
3. $28$
4. $6\ldots6\ (1009\ \text{шестерок})$
5. $\displaystyle \tfrac12 < a < \sqrt{3} - 1$

Решения задач

1. Два велосипедиста ехали по шоссе со скоростью $20\ \mathrm{км/ч}$ на расстоянии $200\ \mathrm{м}$ друг от друга. Потом они какое-то время поднимались в горку со скоростью $5\ \mathrm{км/ч}$, после чего спускались с горки со скоростью $30\ \mathrm{км/ч}$. Какое расстояние было между велосипедистами, когда они оба спускались с горки?
   
   Решение: Так как велосипедисты двигались с одинаковой скоростью на всех участках пути ($20\ \mathrm{км/ч}$, $5\ \mathrm{км/ч}$, $30\ \mathrm{км/ч}$), расстояние между ними не изменялось. Поэтому при спуске с горки расстояние осталось равным начальному — $200\ \mathrm{м}$.
   Ответ: 200 м.
   
   
2. Решите уравнение \[ \lvert 2x + 7\rvert = \lvert x - 1\rvert. \] Решение: Возведём обе части уравнения в квадрат: \[ (2x + 7)^2 = (x - 1)^2 \]
   Раскроем скобки: \[ 4x^2 + 28x + 49 = x^2 - 2x + 1 \]
   Соберём все слагаемые в левой части: \[ 3x^2 + 30x + 48 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 10x + 16 = 0 \]
   Найдём корни квадратного уравнения: \[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2} = \frac{-10 \pm 6}{2} \]
   Получим: \[ x_1 = -2, \quad x_2 = -8 \]
   Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
   Ответ: $-2$, $-8$.
   
   
3. Расстояние от середины одной боковой стороны трапеции до прямой, содержащей другую её боковую сторону длины $4$, равно $7$. Найдите площадь этой трапеции.
   Решение: Пусть трапеция $ABCD$ с боковыми сторонами $AB$ и $CD$, причём $CD=4$. Середина $AB$ — точка $M$. Искомое расстояние равно высоте трапеции, проведённой к основанию $CD$. Площадь трапеции равна среднему арифметическому оснований, умноженному на высоту. Однако поскольку за высоту принимается расстояние между основаниями, а сумма оснований равна средней линии трапеции умноженной на 2, требуется дополнительный подход.
   
   В данном случае расстояние от середины $AB$ до $CD$ соответствует высоте треугольника, равной высоте всей трапеции. Тогда площадь трапеции можно найти по формуле: \[ S = \text{сторона} \cdot \text{расстояние} = 4 \cdot 7 = 28 \]
   Ответ: 28.
   
   
4. Вычислите \[ \sqrt{\underbrace{4444\ldots4}_{2018} \;-\;\underbrace{88\ldots8}_{1009}}. \] Решение: Рассмотрим структуру чисел: \[ \underbrace{444\ldots4}_{2n} - \underbrace{888\ldots8}_n = 444\ldots4 - 888\ldots8 = \left(66\ldots6\right)^2 \]
   Для $n=1009$ получаем: \[ \sqrt{\underbrace{444\ldots4}_{2018} - \underbrace{888\ldots8}_{1009}} = \underbrace{666\ldots6}_{1009} \]
   Ответ: $\underbrace{666\ldots6}_{1009}$.
   
   
5. При каких значениях параметра $a$ один корень уравнения \[ x^2 - a^2 x + 1 - 2a = 0 \] лежит на интервале $(-1,0)$, а другой — на интервале $(0,1)$?
   Решение: Чтобы корни находились в указанных интервалах:
   1. $f(-1) > 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 - 2a + 2 >0$ (выполняется всегда)
   2. $f(0) < 0 \quad \Rightarrow \quad 1 - 2a \frac{1}{2}$
   3. $f(1) > 0 \quad \Rightarrow \quad -a^2 - 2a + 2 >0 \quad \Rightarrow \quad a \in (-1 - \sqrt{3}, -1 + \sqrt{3})$
   
   Учитывая дискриминант $D = a^4 +8a -4 >0$, пересечение условий даёт: \[ a \in \left(\frac{1}{2}; \sqrt{3} - 1\right) \]
   Ответ: $a \in \left(\dfrac{1}{2}; \sqrt{3} - 1\right)$.