СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2018 год вариант 7

1. Два автомобиля ехали по шоссе со скоростью $60\ \mathrm{км/ч}$. Потом они какое-то время ехали по проселочной дороге со скоростью $30\ \mathrm{км/ч}$, после чего выехали на скоростную трассу, по которой ехали со скоростью $90\ \mathrm{км/ч}$. Какое расстояние было между автомобилями на трассе, если во время движения по шоссе второй отставал от первого на $300\ \mathrm{м}$?
2. Решите уравнение \[ |x + 1| = |2x - 7|. \]
3. Расстояние от середины одной боковой стороны трапеции до прямой, содержащей другую её боковую сторону длины $5$, равно $8$. Найдите площадь этой трапеции.
4. Вычислите \[ \sqrt{\underbrace{111\ldots1}_{2018} - \underbrace{22\ldots2}_{1009}}. \]
5. При каких значениях параметра $a$ один корень уравнения \[ x^2 - a^2 x + 2a + 1 = 0 \] лежит на интервале $(-1,0)$, а другой — на интервале $(0,1)$?

1. $450\ \mathrm{м}$
2. $\{2;8\}$
3. $40$
4. $3\ldots3\ (1009\ \text{троек})$
5. $1-\sqrt3 < a < -\tfrac12$

Решения задач

1. Два автомобиля ехали по шоссе со скоростью $60\ \mathrm{км/ч}$. Потом они какое-то время ехали по проселочной дороге со скоростью $30\ \mathrm{км/ч}$, после чего выехали на скоростную трассу, по которой ехали со скоростью $90\ \mathrm{км/ч}$. Какое расстояние было между автомобилями на трассе, если во время движения по шоссе второй отставал от первого на $300\ \mathrm{м}$?
   Решение: Так как скорости движения на всех участках были одинаковы для обоих автомобилей, относительная скорость между ними равнялась нулю. Значит, отставание в 300 м не изменялось на протяжении всего пути.
   Ответ: $300\ \mathrm{м}$.
2. Решите уравнение \[ |x + 1| = |2x - 7|. \]
   Решение: \[ |x + 1| = |2x - 7| \] Рассмотрим два случая:
   1. $x + 1 = 2x - 7 \quad \Rightarrow \quad x = 8$.
   2. $x + 1 = -(2x - 7) \quad \Rightarrow \quad 3x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 2$.
   Проверка показала, что оба решения верны.
   Ответ: $2$ и $8$.
3. Расстояние от середины одной боковой стороны трапеции до прямой, содержащей другую её боковую сторону длины $5$, равно $8$. Найдите площадь этой трапеции.
   Решение: Площадь трапеции можно вычислить как произведение длины боковой стороны на расстояние от середины противоположной боковой стороны до неё: \[ S = 5 \cdot 8 = 40. \] Ответ: $40$.
4. Вычислите \[ \sqrt{\underbrace{111\ldots1}_{2018} - \underbrace{22\ldots2}_{1009}}. \]
   Решение: Заметим, что: \[ \underbrace{111\ldots1}_{2n} - \underbrace{22\ldots2}_{n} = \left(\frac{10^{n} - 1}{3}\right)^2. \] При $n = 1009$ получаем: \[ \sqrt{\underbrace{111\ldots1}_{2018} - \underbrace{22\ldots2}_{1009}} = \underbrace{333\ldots3}_{1009}. \] Ответ: $\underbrace{333\ldots3}_{1009}$.
5. При каких значениях параметра $a$ один корень уравнения \[ x^2 - a^2 x + 2a + 1 = 0 \] лежит на интервале $(-1,0)$, а другой — на интервале $(0,1)$?
   Решение:
   1. Произведение корней отрицательно: \[ 2a + 1 < 0 \quad \Rightarrow \quad a < -\frac{1}{2}. \]
   2. Сумма корней — $a^2$, причём $a^2 < 1$: \[ -1 < a < 1. \]
   3. Дискриминант положителен: \[ a^4 - 8a - 4 > 0. \] Для $a \in (-1, -\frac{1}{2})$ это неравенство выполняется.
   Объединяя условия, получаем: \[ a \in (-1, -\frac{1}{2}). \] Ответ: $a \in (-1, -\frac{1}{2})$.