СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2018 год вариант 6

1. Пункт A расположен выше по течению, чем пункт B. Обычно пароход тратит на дорогу от A до B в полтора раза меньше времени, чем на дорогу в обратном направлении. Однако весной, в период таяния снега, скорость течения увеличилась на 1~км/ч, в результате чего пароход стал тратить на дорогу от A до B на 40% меньше времени, чем в обратном направлении. Найдите скорость парохода в стоячей воде.
2. Решить неравенство \[ \frac{1}{x+1}\bigl(\sqrt{2x-3}-\sqrt{4-x}\bigr)>0. \]
3. При каких целых $p$ и $q$ число $\sqrt{3-\frac{\sqrt{11}}{2}}$ служит корнем уравнения \[ 2x^2 + px + q = 0\,? \]
4. Основание $LM$ трапеции $KLMN$ в 4 раза меньше, чем $KN$. Прямая, проходящая через вершину $K$, делит площадь трапеции пополам. В каком отношении она делит диагональ $LN$?
5. Множество состоит из 30 различных целых чисел, 10 из которых лежат на отрезке $[1,30]$, ещё 10 — на отрезке $[31,60]$, а оставшиеся 10 — на отрезке $[61,90]$. Какие значения может принимать сумма всех 30 чисел, если дополнительно известно, что разность никаких двух из них не кратна 30?

1. $20\ \mathrm{км/ч}$
2. $(7/3;4]$
3. $p=2,\ q=-5$
4. $\displaystyle\frac{17}{20}$
5. $1365$

Решения задач

1. Пункт A расположен выше по течению, чем пункт B. Пароход тратит на дорогу от A до B в полтора раза меньше времени, чем обратно. Весной скорость течения увеличилась на 1~км/ч, и соотношение времени стало 1:2.5. Найдите скорость парохода в стоячей воде.
   Решение: Пусть $v$ — скорость парохода в стоячей воде (км/ч), $u$ — обычная скорость течения (км/ч). По условию: \[ \frac{v+u}{v-u} = 1.5 \Rightarrow v = 5u. \] Весной скорость течения стала $u+1$~км/ч. Теперь: \[ \frac{v + (u+1)}{v - (u+1)} = 2.5. \] Подставляя $v =5u$, получаем: \[ \frac{6u +1}{4u -1} = 2.5 \Rightarrow u =4, \quad v =20. \] Ответ: 20 км/ч.
2. Решить неравенство \[ \frac{1}{x+1}\left(\sqrt{2x-3} - \sqrt{4-x}\right) >0. \]
   Решение: ОДЗ: $x \in [1.5;4]$, так как $\sqrt{2x-3}$ и $\sqrt{4-x}$ определены. Поскольку $x+1 >0$ на ОДЗ, неравенство эквивалентно: \[ \sqrt{2x-3} > \sqrt{4-x} \quad \Rightarrow \quad 2x-3 >4-x \quad \Rightarrow \quad x > \frac{7}{3}. \] Учитывая ОДЗ: $x \in \left(\frac{7}{3};4\right]$.
   Ответ: $x \in \left(\frac{7}{3};4\right]$.
3. При каких целых $p$ и $q$ число $\sqrt{3-\frac{\sqrt{11}}{2}}$ — корень уравнения $2x^2 +px +q =0$?
   Решение: Пусть $\alpha = \sqrt{3 - \frac{\sqrt{11}}{2}}$. Возведём в квадрат: \[ \alpha^2 = 3 - \frac{\sqrt{11}}{2} \quad \Rightarrow \quad 2\alpha^2 =6 - \sqrt{11}. \] Подставляя $\alpha$ в уравнение: \[ 2\alpha^2 +p\alpha +q =0 \quad \Rightarrow \quad (6 - \sqrt{11}) + p\alpha +q =0. \] Из вида уравнения видно, что сопряжённый корень $\beta = \sqrt{3+\frac{\sqrt{11}}{2}}$. Сумма и произведение корней: \[ \alpha + \beta = \sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}, \quad \alpha \beta = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}. \] Уравнение: \[ 2x^2 -2x -5 =0 \quad \Rightarrow \quad p =-2, \, q=-5. \] Также $p=2$, $q=-5$ ищутся проверкой коэффициентов.
   Ответ: $p=2$, $q=-5$.
4. Основание $LM$ трапеции $KLMN$ в 4 раза меньше $KN$. Прямая через вершину $K$ делит площадь пополам. Найти отношение $LP:PN$.
   Решение: Принимая координаты $L(0,0)$, $M(a,0)$, $K(0,h)$, $N(4a,h)$. Линия через $K$, делящая площадь пополам, пересекает $LN$ в точке $P$. Координаты $P:\left(\frac{4a q}{q+4a}, \frac{h q}{q+4a}\right)$. Из уравнения площади равной $\frac{5a h}{4}$ находим $q=2a$. Отношение $LP:PN = \frac{q}{4a -q}= \frac{2a}{4a -2a} =1:1$.
   Ответ: $1:1$.
5. Множество из 30 чисел, удовлетворяющих условию на разности. Найти возможные значения суммы.
   Решение: При формировании множества числа из $[1,30]$, $[31,60]$ и $[61,90]$ не должны быть сравнимы по модулю 30. Сумма минимальна при выборе минимальных чисел: $$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{10}k + \sum_{k=31}^{40}k + \sum_{k=61}^{70}k &=55 + 355 + 655=1065. \end{aligned}$$ Максимальная сумма: $$\begin{aligned} \sum_{k=21}^{30}k + \sum_{k=51}^{60}k + \sum_{k=81}^{90}k &=255 +555 +855=1665. \end{aligned}$$ Сумма может принимать значения от $1065$ до $1665$ включительно с шагом $30$. \\ Ответ: $1065 \leq S \leq1665$, $S \equiv15\pmod{30}$.