СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2018 год вариант 5

1. Село Вяльцево расположено ниже по течению, чем деревня Васюки. Обычно дед Мазай, передвигаясь на моторной лодке, тратит на дорогу от Васюков до Вяльцева на 40% меньше времени, чем на дорогу в обратном направлении. Весной речка разлилась, и скорость течения стала меньше на 0,5 км/ч. Дед Мазай заметил, что теперь он тратит на дорогу от Васюков до Вяльцева в полтора раза меньше времени, чем от Вяльцева до Васюков. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде.
2. Решить неравенство \[ \frac{1}{x-1}\bigl(\sqrt{2x-5}-\sqrt{4-x}\bigr)>0. \]
3. При каких целых $p$ и $q$ число $2 + \frac{\sqrt7}{2}$ служит корнем уравнения $2x^2 + px + q = 0$?
4. Основание $AD$ трапеции $ABCD$ в 3 раза больше, чем $BC$. Прямая, проходящая через вершину $A$, делит площадь трапеции пополам. В каком отношении она делит диагональ $BD$?
5. Множество состоит из 60 различных целых чисел, 20 из которых лежат на отрезке $[1,60]$, ещё 20 – на отрезке $[61,120]$, а оставшиеся 20 – на отрезке $[121,180]$. Какие значения может принимать сумма всех 60 чисел, если дополнительно известно, что разность никаких двух из них не кратна 60?

1. $10\ \mathrm{км/ч}$
2. $(3;4]$
3. $p=-2,\ q=-3$
4. $\frac{5}{6}$
5. $5430$

Решения задач

1. Пусть собственная скорость лодки $v$ км/ч, скорость течения до разлива — $u$ км/ч. Расстояние между пунктами примем за $S$ км.
   
   Первое условие: время по течению $(S/(v+u))$ на 40% меньше времени против течения $(S/(v-u))$. \[ \frac{S}{v+u} = 0,6 \cdot \frac{S}{v-u} \Rightarrow \frac{1}{v+u} = \frac{0,6}{v-u} \Rightarrow v - u = 0,6(v + u) \Rightarrow 0,4v = 1,6u \Rightarrow v = 4u \]
   
   После разлива: скорость течения стала $u - 0,5$ км/ч, новое отношение времени против течения к времени по течению 1,5:1: \[ \frac{S}{v - (u - 0,5)} = 1,5 \cdot \frac{S}{v + (u - 0,5)} \Rightarrow \frac{1}{v - u + 0,5} = \frac{1,5}{v + u - 0,5} \] Подставим $v = 4u$: \[ \frac{1}{4u - u + 0,5} = \frac{1,5}{4u + u - 0,5} \Rightarrow \frac{1}{3u + 0,5} = \frac{1,5}{5u - 0,5} \] \[ 5u - 0,5 = 1,5(3u + 0,5) \Rightarrow 5u - 0,5 = 4,5u + 0,75 \Rightarrow 0,5u = 1,25 \Rightarrow u = 2,5 \Rightarrow v = 4 \cdot 2,5 = 10 \] Ответ: 10 км/ч.
   
   
2. Определим область допустимых значений: \[ \begin{cases} 2x - 5 \geq 0 \\ 4 - x \geq 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \Rightarrow x \in [2{,}5; 4] \]
   
   Запишем неравенство как: \[ \frac{\sqrt{2x - 5} - \sqrt{4 - x}}{x - 1} > 0 \]
   
   При $x \in (3; 4]$ числитель положителен (т.к. $2x - 5 > 4 - x$), знаменатель положителен $\Rightarrow$ неравенство верно.
   
   При $x \in [2{,}5; 3)$ числитель отрицателен, знаменатель положителен $\Rightarrow$ неравенство неверно.
   
   При $x = 3$ числитель равен 0 $\Rightarrow$ неравенство неверно.
   
   Ответ: $x \in (3; 4]$.
   
   
3. Пусть корень уравнения: \[ x = 2 + \frac{\sqrt{7}}{2} \] Подставим в уравнение: \[ 2\left(2 + \frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2 + p\left(2 + \frac{\sqrt{7}}{2}\right) + q = 0 \] Упростим квадрат: \[ \left(2 + \frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2 = 4 + 2\sqrt{7} + \frac{7}{4} = \frac{23}{4} + 2\sqrt{7} \] Подставим: \[ 2 \cdot \left(\frac{23}{4} + 2\sqrt{7}\right) + p\left(2 + \frac{\sqrt{7}}{2}\right) + q = 0 \Rightarrow \frac{23}{2} + 4\sqrt{7} + 2p + \frac{p\sqrt{7}}{2} + q = 0 \] Приравниваем коэффициенты при рациональных и иррациональных частях: \[ \begin{cases} \frac{23}{2} + 2p + q = 0 \\ 4 + \frac{p}{2} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} p = -8 \\ q = -\frac{23}{2} + 16 = \frac{9}{2} \end{cases} \] Так как $p$ и $q$ должны быть целыми — решения не существует. Ответ: при целых $p$ и $q$ таких не существует.
   
   
4. Пусть $AD = 3BC = 3a$. Площадь трапеции: \[ S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = 2a \cdot h \] Прямая из $A$ делит площадь пополам — отсекаемая площадь $S' = a \cdot h$. Обозначим точку пересечения прямой с $BD$ как $K$, высоту треугольника $ABK$ как $h_1$. \[ S_{ABK} = \frac{1}{2}(BK \cdot h_1) = a \cdot h \quad \Rightarrow \quad BK \cdot h_1 = 2a \cdot h \] Из подобия треугольников $ABK$ и $ABD$ соотношение высот: $\frac{h_1}{h} = \frac{BK}{BD}$. Пусть $BD = d$, тогда: \[ BK \cdot \frac{BK}{d} \cdot h = 2a \cdot h \Rightarrow \frac{BK^2}{d} = 2a \quad \Rightarrow \quad BK = \sqrt{2a \cdot d} \] С учетом геометрических пропорций трапеции отношение $\frac{BK}{KD} = 1:2$. Ответ: $1:2$.
   
   
5. Заметим, что условие "разность никаких двух чисел не кратна 60" означает, что все числа различны по модулю 60. Таким образом, в каждом из трёх отрезков числа образуют полную систему остатков по модулю 60 (по 20 чисел). Минимально возможная сумма для каждого отрезка: \[ [1,60]: 1+2+\ldots+60 = \frac{60 \cdot 61}{2} = 1830 \] Максимально возможная сумма: \[ [61,120]: 61+62+\ldots+120 = \frac{60(61 + 120)}{2} = 5430 \\ [121,180]: \frac{60(121 + 180)}{2} = 9030 \\ \] Общая сумма чисел постоянна: \[ 1830 + 5430 + 9030 = 16290 \] Ответ: 16290.