СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2018 год вариант 4

СУНЦ МГУ. Выездные экзамены, I волна, 2018 г. Задание для поступающих в 10 класс физико-математического отделения (на 120 мин)

Математика. Вариант 10-ФМ-4

1. Решите уравнение \[ x - \frac{4034000}{x} = 17. \]
   
   
2. Серёжа «починил» старые дедушкины часы, и они пошли в обратную сторону и, к тому же, с утренной скоростью (т.е. минутная стрелка стала делать один оборот за 20 мин, а часовая — за 4 ч). Ровно в полночь часы показывали истинное время. Сколько ещё раз в течение ближайших суток (с 00:01 до 23:59) они покажут истинное время?
   
   
   
3. Сколько точек \((x, y)\) с целыми координатами удовлетворяют неравенству \[ x^2 + y^2 \leq 4|x| + 2|y|? \]
   
   
4. Диагонали трапеции, равные 8 и 15 соответственно, пересекаются под прямым углом, а одно из оснований трапеции равно 10. Найдите второе её основание.
   
   
   
5. Петя выписал на доске первые несколько членов арифметической прогрессии с разностью 1 и первым членом 1, а Вася выписал на доске первые 2018 членов геометрической прогрессии со знаменателем 2 и первым членом, равным степени двойки с целым показателем. Могут ли суммы этих прогрессий оказаться одинаковыми?
   
   
   

Вариант 10-ФМ-4

1. -2000 и 2017
2. 7 раз
3. 57 точек
4. 7
5. Да

Решения задач

1. Решите уравнение \[ x - \frac{4034000}{x} = 17. \]
   Решение:
   Умножим обе части уравнения на \( x \): \[ x^2 - 17x - 4034000 = 0. \] Найдем дискриминант: \[ D = (-17)^2 + 4 \cdot 4034000 = 289 + 16136000 = 16136289. \] Корень дискриминанта: \[ \sqrt{16136289} = 4017. \] Корни уравнения: \[ x = \frac{17 \pm 4017}{2}. \] Получаем: \[ x_1 = \frac{4034}{2} = 2017, \quad x_2 = \frac{-4000}{2} = -2000. \] Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
   Ответ: \( 2017 \) и \( -2000 \).
   
   
2. Серёжа «починил» старые дедушкины часы, и они пошли в обратную сторону и, к тому же, с ускоренной скоростью (т.е. минутная стрелка стала делать один оборот за 20 мин, а часовая — за 4 ч). Ровно в полночь часы показывали истинное время. Сколько ещё раз в течение ближайших суток (с 00:01 до 23:59) они покажут истинное время?
   Решение:
   Минутная стрелка движется в обратную сторону с периодом 20 минут реального времени, часовая — с периодом 4 часа. Коэффициенты их скоростей относительно реальных часов:
   Минутная: \( -3 \) оборота/час (в обратном направлении), часовая: \( -1.5 \) оборота/час.
   Условие совпадения стрелок с реальными: \[ t \equiv 480k \text{ минут} \quad (k \in \mathbb{N}). \] За сутки это происходит в моменты: \[ t = 480 \text{ (8:00)} \quad \text{и} \quad t = 960 \text{ (16:00)}. \] Таким образом, кроме полуночи, часы покажут точное время ещё 2 раза.
   Ответ: 2.
   
   
3. Сколько точек \((x, y)\) с целыми координатами удовлетворяют неравенству \[ x^2 + y^2 \leq 4|x| + 2|y|? \]
   Решение:
   Перепишем неравенство, выделив полные квадраты: \[ (|x| - 2)^2 + (|y| - 1)^2 \leq 5. \] Это уравнение окружности радиуса \( \sqrt{5} \) с центром в \( (2,1) \) для неотрицательных \( x \) и \( y \). Перебор целых \( |x| \) и \( |y| \):
   Возможные значения: \( |x| = 0, 1, 2, 3, 4 \), \( |y| = 0, 1, 2, 3 \). Учёт симметрии точек относительно осей даёт 57 целых точек.
   Ответ: 57.
   
   
4. Диагонали трапеции, равные 8 и 15 соответственно, пересекаются под прямым углом, а одно из оснований трапеции равно 10. Найдите второе её основание.
   Решение:
   Используем свойство трапеции с перпендикулярными диагоналями: \[ AC^2 + BD^2 = AD^2 + BC^2. \] Подставляя значения: \[ 15^2 + 8^2 = 10^2 + BC^2 \Rightarrow BC^2 = 225 + 64 - 100 = 189 \Rightarrow BC = \sqrt{189} = 3\sqrt{21}. \] Ответ: \( 3\sqrt{21} \).
   
   
5. Петя выписал на доске первые несколько членов арифметической прогрессии с разностью 1 и первым членом 1, а Вася выписал на доске первые 2018 членов геометрической прогрессии со знаменателем 2 и первым членом, равным степени двойки с целым показателем. Могут ли суммы этих прогрессий оказаться одинаковыми?
   Решение:
   Сумма арифметической прогрессии для \( n \) членов: \[ S_A = \frac{n(n + 1)}{2}. \] Сумма геометрической прогрессии с первым членом \( 2^k \): \[ S_G = 2^k(2^{2018} - 1). \] Уравнение: \[ \frac{n(n + 1)}{2} = 2^k(2^{2018} - 1). \] Число \( n(n + 1) \) чётное, а \( 2^{2018} - 1 \) — нечётное. Степень двойки \( 2^k \) может компенсировать чётность только при \( k \geq 1 \), однако левая часть растёт квадратично, а правая — экспоненциально. Равенство невозможно.
   Ответ: Нет.