СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2018 год вариант 3

1. Решите уравнение \[ x - \frac{4036000}{x} = 18. \]
   
   
   
   
2. Ровно в полночь злой Волан-де-Морт испортил часы на башне в Хогвартсе, и они пошли в обратную сторону и, к тому же, с удвоенной скоростью (т.е. минутная стрелка стала делать один оборот за 30 минут, а часовая — за 6 ч). Сколько раз в течение ближайших суток (с 00:01 до 23:59) они покажут истинное время?
   Ответ: \underline{\hspace{5cm}}
   
   
3. Сколько точек \((x, y)\) с целыми координатами удовлетворяют неравенству \[ x^2 + y^2 < 4(|x| + |y|)? \]
   
   
   
   
4. Диагонали трапеции, равные 5 и 12 соответственно, пересекаются под прямым углом, а одно из оснований этой трапеции равно 9. Найдите второе её основание.
   
   
   
   
   
5. Вася выписал на доске первые несколько членов арифметической прогрессии с разностью 4 и первым членом 4, а Петя выписал на доске первые 2017 членов геометрической прогрессии со знаменателем 2 и первым членом, равным степени двойки с целым показателем. Могут ли суммы этих прогрессий оказаться одинаковыми?
   
   
   

1. -2000 и 2018
2. 5 раз
3. 72 точки
4. 4
5. Да

Решения задач

1. Решите уравнение \[ x - \frac{4036000}{x} = 18. \] Решение: Умножим обе части уравнения на \( x \): \[ x^2 - 18x - 4036000 = 0. \] Найдем дискриминант: \[ D = 18^2 + 4 \cdot 4036000 = 324 + 16144000 = 16144324. \] Корень дискриминанта: \[ \sqrt{16144324} = 4018. \] Корни уравнения: \[ x = \frac{18 \pm 4018}{2} \Rightarrow x_1 = \frac{4036}{2} = 2018, \quad x_2 = \frac{-4000}{2} = -2000. \] Проверка: \[ 2018 - \frac{4036000}{2018} = 2018 - 2000 = 18, \quad -2000 - \frac{4036000}{-2000} = -2000 + 2018 = 18. \] Ответ: \( 2018 \) и \( -2000 \).
   
   
2. Ровно в полночь злой Волан-де-Морт испортил часы на башне в Хогвартсе, и они пошли в обратную сторону и, к тому же, с удвоенной скоростью (т.е. минутная стрелка стала делать один оборот за 30 минут, а часовая — за 6 ч). Сколько раз в течение ближайших суток (с 00:01 до 23:59) они покажут истинное время? Решение: Пусть \( t \) — реальное время в часах. Испорченные часы показывают: \[ T' = (24 - 2t) \mod 12. \] Уравнение совпадения времени: \[ (24 - 2t) \mod 12 = t \mod 12. \] Преобразуем: \[ 24 - 2t \equiv t \pmod{12} \Rightarrow 24 \equiv 3t \pmod{12} \Rightarrow 0 \equiv 3t \pmod{12} \Rightarrow t \equiv 0 \pmod{4}. \] В сутках \( t \in [0, 24) \). Подходящие моменты: \( t = 4, 8, 12, 16, 20 \). Исключим \( t = 0 \) и \( t = 24 \). Однако при \( t = 12 \): \[ T' = (24 - 24) \mod 12 = 0 \mod 12 = 12 \mod 12 = 0 \neq 12. \] Корректные совпадения: \( 4:00, 8:00, 16:00, 20:00 \). Всего 4 раза. Ответ: 4.
   
   
3. Сколько точек \((x, y)\) с целыми координатами удовлетворяют неравенству \[ x^2 + y^2 < 4(|x| + |y|)? \] Решение: Перепишем неравенство: \[ x^2 - 4|x| + y^2 - 4|y| < 0 \Rightarrow (|x| - 2)^2 + (|y| - 2)^2 < 8. \] Рассмотрим первый квадрант (\( x \geq 0, y \geq 0 \)): \[ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 < 8. \] Целые решения: \( x, y \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \). Проверяем комбинации: \[ (0,0): 8 < 8 \quad \text{нет}, \quad (1,1): 2 < 8 \quad \text{да}, \] и т.д. Всего в первом квадранте 9 точек. Учитывая симметрию, общее количество: \[ 9 \times 4 - 4 (\text{оси}) + 1 (\text{начало}) = 33. \] Ответ: 33.
   
   
4. Диагонали трапеции, равные 5 и 12 соответственно, пересекаются под прямым углом, а одно из оснований этой трапеции равно 9. Найдите второе её основание. Решение: Пусть основания \( a = 9 \), \( b \). Используем свойство трапеции с перпендикулярными диагоналями: \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{d_1 d_2} (d_1^2 + d_2^2)^{1/2}. \] Альтернативно, через отношение отрезков диагоналей: \[ \frac{a}{b} = \frac{d_1^2}{d_2^2} \Rightarrow \frac{9}{b} = \frac{25}{144} \Rightarrow b = \frac{144 \cdot 9}{25} = \frac{1296}{25} = 51.84. \] Ошибка в подходе. Верное решение: \[ a \cdot b = d_1 \cdot d_2 \Rightarrow 9b = 5 \cdot 12 \Rightarrow b = \frac{60}{9} = \frac{20}{3}. \] Ответ: \( \frac{20}{3} \).
   
   
5. Вася выписал на доске первые несколько членов арифметической прогрессии с разностью 4 и первым членом 4, а Петя выписал на доске первые 2017 членов геометрической прогрессии со знаменателем 2 и первым членом, равным степени двойки с целым показателем. Могут ли суммы этих прогрессий оказаться одинаковыми? Решение: Сумма арифметической прогрессии: \[ S_a = \frac{n}{2}(2 \cdot 4 + (n-1) \cdot 4) = 2n(n + 1). \] Сумма геометрической прогрессии: \[ S_g = 2^k(2^{2017} - 1). \] Уравнение: \[ 2n(n + 1) = 2^k(2^{2017} - 1). \] Так как \( 2^{2017} - 1 \) — нечетное, правая часть содержит ровно \( k \) двоек. Левая часть содержит \( 2n(n+1) \), где \( n \) и \( n+1 \) взаимно просты. Значит, \( n \) или \( n+1 \) должно быть степенью двойки. Однако \( 2^{2017} - 1 \) — простое число (Мерсенна), не делящееся на \( n(n+1) \). Следовательно, равенство невозможно. Ответ: Нет.